\ANG{
\EPSR{9cm}{qmrr1111}{5cm}{}{
\PSFM{Wg}{$W_{\gamma}$} \PSFM{Wgs}{$W_{\gamma}'$} \PSFM{eps}{$\varepsilon$}
\PSFM{L}{Laborsystem S} \PSFM{f1}{$f_{1}$}   
}{
Im System S (Laborsystem) trifft ein Photon mit der Energie 
$W_{\gamma}=9999\,W_{\text{e0}}$ auf ein ruhendes Elektron (Ruhenergie $W_{\text{e0}}$). 
Das unter dem Winkel $\varphi=90^{\circ}$ gestreute Photon hat die Energie 
$W_{\gamma}'$ und den Impulsbetrag $p_{\gamma}'$.
Nach der Wechselwirkung bezeichnen wir die Gr"o"sen des Elektrons mit
$W_{\text{ek}}$ (kinetische Energie), $W_{\text{e}}$ (Gesamtenergie),  
$\vec{p}_{\text{e}}$ (Impuls) und $v_{\text{e}}$ (Geschwindigkeitsbetrag).  
}
\begin{enumerate}
\item Berechne $W_{\gamma}'$, $W_{\text{ek}}$ und $W_{\text{e}}$, jeweils als
  Vielfaches von $W_{\text{e0}}$ und in MeV.
\item Berechne den Winkel $\varepsilon$, den die Flugrichtung des
  R"ucksto"selektrons mit der Richtung des einfallenden Gammaquants 
  einschlie"st. Berechne auch $\D\beta_{\text{e}}=\frac{v_{\text{e}}}{c}$.
\end{enumerate}
\EPSR{7.5cm}{qmrr1112}{6.5cm}{}{
\PSFM{f1}{$f_{1}$} \PSFM{f2}{$f_{2}$} \PSFM{f1s}{$f_{1}'$}
\PSFM{f2s}{$f_{2}'$} \PSFM{pn}{p$^{-}$}
\PSFM{v}{$v$} \PSFM{pp}{p$^{+}$} \PSFM{vs}{$v'$} \PSFM{mvs}{$-v'$}
\PSFM{L}{Laborsystem S} \PSFM{SP}{Schwerpunktsystem S'}
}{\parfillskip0pt
Wir befassen uns jetzt mit der Erzeugung des einfallenden Photons: Ein
Antiproton p$^{-}$ aus einem Beschleuniger trifft im Laborsystem S 
mit der Geschwindigkeit $v=\beta c$ und der Gesamtenergie $W$ 
auf ein ruhendes Proton p$^{+}$. Dabei entstehen 
}\\[1mm]
zwei Gammaquanten mit den
Frequenzen $f_{1}$ und $f_{2}$, die sich parallel zur Einfallsrichtung des
Antiprotons ausbreiten. Da das Proton in S ruht, ist die Relativgeschwindigkeit
von S' zu S durch $v_{\text{S'S}}=v'$ gegeben. 
\begin{enumerate}
\item[(c)] Zeige, dass in S' $f_{1}'=f_{2}'$ gilt. Mit $f_{0}$ bezeichnen wir 
  die Frequenz eines der beiden Photonen, die bei der Zerstrahlung von einem  
  {\bfseries ruhenden} Proton-Antiproton-Paares erzeugt werden. Berechne
  $f_{0}$ und beweise dann: 
  \[f_{1}=\frac{f_{0}}{1-\beta'}\] 
\item[(d)] Berechne $\beta'$ und dann $\beta$ mit Hilfe des Additionstheorems f"ur
  Geschwindigkeiten. Welche Beschleunigungsspannung hat das Antiproton durchlaufen?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\lambda'=\lambda+\lambda_{\text{C}}(1-\cos\varphi)=
 \lambda+\lambda_{\text{C}}=\frac{hc}{W_{\gamma}}+\frac{hc}{W_{\text{e0}}}=
 \frac{10\,000}{9999}\cdot\frac{hc}{W_{\text{e0}}}=
 \frac{10\,000\,hc}{W_{\gamma}}$\\[2mm]
$\D W_{\gamma}'=\frac{hc}{\lambda'}=\frac{W_{\gamma}}{10\,000}=
 0{,}9999\,W_{\text{e0}}=0{,}5109\,\text{MeV}$\\[2mm]
$\D W_{\text{ek}}=W_{\gamma}-W_{\gamma}'=9998\,W_{\text{e0}}=
 5109\,\text{MeV}$\\[2mm]
$\D W_{\text{e}}=W_{\text{ek}}+W_{\text{e0}}=9999\,W_{\text{e0}}=
 5109{,}5\,\text{MeV}$\\[2mm]
\item $\D\vec{p}_{\text{e}}=\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma}'=
 \EVEKTOR{c}{p_{\gamma}}{p_{\gamma}'}=
 \frac{1}{c}\EVEKTOR{c}{W_{\gamma}}{W_{\gamma}'}$\\[2mm]
$\D\tan\varepsilon=\frac{W_{\gamma}'}{W_{\gamma}}=10^{-4}\quad\DANN\quad
\varepsilon=10^{-4}=0{,}00573^{\circ}$\\[2mm]
$\D W_{\text{e}}=\frac{W_{\text{e0}}}{\sqrt{1-\beta_{\text{e}}^{2}}}
\quad\DANN\quad
\beta_{\text{e}}=\sqrt{1-\left(\frac{W_{\text{e0}}}{W_{\text{e}}}\right)^{2}}=
\sqrt{1-10^{-8}}=1-5\cdot 10^{-9}$
\item In S' ist der Gesamtimpuls null, d.h. die beiden Photonen haben den
  gleichen Impulsbetrag und damit die gleiche Energie und Frequenz.\\[2mm]
$\D 2hf_{0}=2m_{\text{p}}c^{2}\quad\DANN\quad
f_{0}=\frac{m_{\text{p}}c^{2}}{h}=2.269\cdot 10^{23}\,\RFRAC{1}{s}$\\[2mm]
Dopplerformel:
\begin{align}
f_{1} &= f_{1}'\sqrt{\frac{1+\beta'}{1-\beta'}}=
\frac{m_{\text{p}}c^{2}}{h\sqrt{1-\beta'^{2}}}\sqrt{\frac{1+\beta'}{1-\beta'}}=
f_{0}\sqrt{\frac{1+\beta'}{(1-\beta')(1-\beta'^{2})}}=\nonumber\\
 &=f_{0}\sqrt{\frac{1+\beta'}{(1-\beta')^{2}(1+\beta')}}=
\frac{f_{0}}{1-\beta'}\nonumber
\end{align}
\item $\D\beta'=1-\frac{f_{0}}{f_{1}}=1-\frac{m_{\text{p}}c^{2}}{W_{\gamma}}=
 1-\frac{m_{\text{p}}}{9999\,m_{\text{e}}}=0{,}8164$\\[2mm]
$\D v=v'\oplus v'=\frac{2v'}{1+\frac{v'v'}{c^{2}}},\qquad
 \beta=\frac{2\beta'}{1+\beta'^{2}}=0{,}9798,\qquad
 \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=4{,}996$\\[2mm]
$\D W_{\text{k,p}^{-}}=(\gamma-1)m_{\text{p}}c^{2}=
 6{,}007\cdot 10^{-10}\,\text{J}=3749\,\text{MeV}\quad\DANN\quad
 U=3{,}749\,\text{GV}$
\end{enumerate}
}
