\ANG{
\EPSR{7cm}{qmrr1061}{7cm}{}{
\PSFM{M}{$m$} \PSFM{p}{$p_{\gamma}$} \PSFM{ps}{$p_{\gamma}'$} 
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{eps}{$\varepsilon$} 
\PSFM{pm}{$p$} \PSFM{v}{vorher} \PSFM{n}{nachher} 
}{
Ein energiereiches Gammaquant der Energie $W_{\gamma}=2{,}815\,\text{GeV}$
trifft auf ein 
ruhendes Teilchen der Masse $m$ und der Ruhenergie $W_{0}$. Der Impuls des
gestreuten Quants bildet mit der Richtung des einfallenden Photons den 
Winkel $\varphi=53{,}130^{\circ}$, das R"ucksto"steilchen fliegt unter dem
Winkel $\varepsilon=\frac{\varphi}{2}$ davon (siehe Abb.). 
}
\begin{enumerate}
\item Zeichne eine Vektorkette aller beteiligten Impulse und dr"ucke
  mit Hilfe des Sinussatzes 
  $p_{\gamma}'$ durch $p_{\gamma}$ und die Winkel aus. Berechne dann
  die Energie $W_{\gamma}'$ des gestreuten Quants.  
\item Leite aus der Comptonformel f"ur die Wellenl"angendifferenz eine
  Beziehung zwischen $W_{\gamma}$, $W_{\gamma}'$, $W_{0}$ und $\varphi$
  her. Berechne dann $W_{0}$. Um welches Teilchen handelt es sich also bei dem
  R"ucksto"steilchen? 
\item Der Ort der Wechselwirkung ist im Zentrum einer gro"sen
  Detektorkammer. Das R"ucksto"steilchen und das gestreute Quant legen beide
  die gleiche Strecke $a=5{,}00\,\text{m}$ bis zum jeweiligen Detektor
  zur"uck. Um welche Zeit $\Delta t$ wird das Teilchen sp"ater registriert als
  das Photon?
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{8cm}{qmrr1062}{5cm}{}{
\PSFM{pg}{$p_{\gamma}$} \PSFM{ps}{$p_{\gamma}'$} \PSFM{p}{$p$} 
 \PSFM{fi}{$\varphi$}  \PSFM{psi}{$\psi$}  \PSFM{eps}{$\varepsilon$} 
}{%\parfillskip0pt
Mit $\psi=180^{\circ}-\varphi-\varepsilon=100{,}305^{\circ}$ folgt\\

$\D\frac{p_{\gamma}'}{\sin\varepsilon}=\frac{p_{\gamma}}{\sin\psi}
\quad\DANN\quad p_{\gamma}'=p_{\gamma}\cdot\frac{\sin\varepsilon}
{\sin\psi}$\\

$\D W_{\gamma}'=p_{\gamma}'c=W_{\gamma}\cdot\frac{\sin\varepsilon}
{\sin\psi}=1279{,}54\,\text{MeV}$
}
\item $\D\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=
\frac{hc}{W_{\gamma}'}-\frac{hc}{W_{\gamma}}=
\frac{h}{mc}(1-\cos\varphi)=\frac{hc}{W_{0}}(1-\cos\varphi)$\\

$\D\frac{1}{W_{\gamma}'}-\frac{1}{W_{\gamma}}=
\frac{1-\cos\varphi}{W_{0}}
\quad\DANN\quad
W_{0}=\frac{1-\cos\varphi}{\frac{1}{W_{\gamma}'}-\frac{1}{W_{\gamma}}}=
938{,}3\,\text{MeV}\quad\DANN\quad\text{Proton}$
\item Kinetische Energie des Protons: 
$\D W_{\text{k}}=W_{\gamma}-W_{\gamma}'=(\gamma-1)W_{0}$\\

$\D\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=1+\frac{W_{\gamma}-W_{\gamma}'}{W_{0}}
=2{,}636\quad\DANN\quad
\beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^{2}}}=0{,}925$\\

$\D\Delta t=\frac{a}{\beta c}-\frac{a}{c}=1{,}35\cdot 10^{-9}\,\text{s}=1{,}35\,\text{ns}$
\end{enumerate}

}
