\ANG{
Ein Positron prallt mit der Gesamtenergie $W=\gamma W_{0}$ 
($v=0{,}600c$) auf ein ruhendes Elektron (Ruhenergie $W_{0}$). Die beiden Teilchen
zerstrahlen in zwei Photonen mit den Frequenzen 
$f$ bzw. $f^{*}$. Das Photon mit der Frequenz $f$ fliegt in die gleiche Richtung
wie das einfallende Positron und trifft auf ein ruhendes Elektron. Das
Elektron fliegt mit dem Impuls $\vec{p}_{\text{e}}$ davon und es entsteht ein
gestreutes Quant mit der Energie $W_{\gamma}'=hf'$ senkrecht zur
Richtung des einfallenden Photons (siehe Abb.). 
\EPSC{qmrr1191}{10.0cm}{}{
\PSFM{p1}{$\vec{p}_{e}$} \PSFM{v0}{$v=0$} \PSFM{hf}{$W_{\gamma}=hf$}  
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{HF}{$\lambda'$} \PSFM{hfs}{$W_{\gamma}^{*}=hf^{*}$}  
\PSFM{l}{$\lambda$} \PSFM{ls}{$\lambda^{*}$} 
\PSFM{vor}{vorher} \PSFM{gavor}{ganz vorher} \PSFM{nach}{nachher}   
\PSFM{ep}{$\varepsilon$} \PSFM{F}{$f'$} \PSFM{v}{$v$} \PSFM{W}{$W$} \PSFM{e}{e$^{-}$} 
\PSFM{p}{e$^{+}$}
}  
\begin{enumerate} 
\item Beweise f"ur die Energie des einen Photons: 
\[W_{\gamma}=\frac{W_{0}}{2}(1+\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1})\]   
und berechne dann den Zahlenwert von $\alpha$ in $W_{\gamma}=\alpha W_{0}$.  
Wie gro"s ist $W_{\gamma}^{*}$? 
\item Schreibe die Energien $W_{\gamma}$, $W_{\gamma}'$, die kinetische
  Energie $W_{\text{ek}}$ und die die Gesamtenergie $W_{\text{e}}$ des
  Elektrons alle als Vielfache von $W_{0}$. Dr"ucke ebenso die Impulse
  $p_{\gamma}$, $p_{\gamma}'$ und $p_{\text{e}}$ durch $m_{\text{e}}c$ aus. Unter
  welchem Winkel $\varepsilon$ (siehe Abb.) fliegt das Elektron davon?
\end{enumerate} 
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mit dem Impuls $p$ des Positrons gilt
\[p^{2}c^{2}=W^{2}-W_{0}^{2}=(\gamma^{2}-1)W_{0}^{2}\QDQ
 p=\frac{W_{0}}{c}\sqrt{\gamma^{2}-1}\]
\begin{align*}
\text{Energiesatz:}\qquad W_{0}(1+\gamma) &= hf+hf^{*} &\DANN\quad
\frac{W_{0}}{h}(1+\gamma) &= f+f^{*}\quad(1)\\
\text{Impulssatz:}\quad \frac{W_{0}}{c}\sqrt{\gamma^{2}-1} &= 
  \frac{hf}{c}-\frac{hf^{*}}{c}&\DANN\,\,
  \frac{W_{0}}{h}\sqrt{\gamma^{2}-1} &= f-f^{*}\quad(2)
\end{align*}
\[(1)+(2):\qquad \frac{W_{0}}{h}\left(1+\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1}\right)=2f
\QDQ W_{\gamma}=hf=\frac{W_{0}}{2}\left(1+\gamma+\sqrt{\gamma^{2}-1}\right)\]
\[\gamma=\sqrt{\frac{1}{1-0{,}6^{2}}}=1{,}25\QDQ
\alpha=\frac{1}{2}\left(1+1{,}25+\sqrt{1{,}25^{2}-1}\right)=\frac32=1{,}5\]
\[W_{\gamma}^{*}=W+W_{0}-W_{\gamma}=(\gamma+1-\alpha)W_{0}=0{,}75W_{0}\]
\item 
$W_{\gamma}=\frac32 W_{0}$. Mit $\varphi=90^{\circ}$ ist $1-\cos\varphi=1$ und damit
\[\lambda'=\lambda+\lambda_{\text{C}}\QDQ
W_{\gamma}'=\frac{hc}{\lambda'}=\frac{hc}{\lambda+\lambda_{\text{C}}}=
\frac{hc}{\frac{hc}{W_{\gamma}}+\frac{hc}{m_{\text{e}}c^{2}}}=
\frac{1}{\frac{2}{3W_{0}}+\frac{1}{W_{0}}}=\frac35 W_{0}\]
\[W_{\text{ek}}=W_{\gamma}-W_{\gamma}'=\left(\frac32-\frac35\right)W_{0}=
\frac{9}{10}W_{0},\quad W_{\text{e}}=W_{0}+W_{\text{ek}}=\frac{19}{10}W_{0}\]
\EPSR{11cm}{qmrr1192}{3cm}{}{
\PSFM{pg}{$p_{\gamma}$} \PSFM{pgs}{$p_{\gamma}'$} 
\PSFM{pe}{$p_{\text{e}}$} \PSFM{eps}{$\varepsilon$}
}{
$\D p_{\gamma}=\frac{W_{\gamma}}{c}=\frac32 m_{\text{e}}c,\quad
  p_{\gamma}'=\frac{W_{\gamma}'}{c}=\frac35 m_{\text{e}}c,\quad
  p_{\text{e}}=\sqrt{p_{\gamma}^{2}+p_{\gamma}'^{2}}=1{,}62\,m_{\text{e}}c$\\[1mm]
$\D\tan\varepsilon=\frac{p_{\gamma}'}{p_{\gamma}}=\frac{2}{5}\QDQ\varepsilon=
21{,}8^{\circ}$
}
\end{enumerate} 
} 
