\ANG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{7.5cm}{qmrr1251}{6cm}{}{
\PSFM{S}{S} \PSFM{Ss}{S$'$} \PSFM{W}{$W$} \PSFM{Ws}{$W'$} 
\PSFM{p}{$p$} \PSFM{ps}{$p'$}  \PSFM{0}{0}   \PSFM{mps}{$-p'$} 
}{
Im LHC werden Protonen der Gesamtenergie $W'=7{,}0\,$TeV aufeinander geschossen
(System S$'$, Schwerpunktsystem). Wie viele Proton-Antiproton-Paare k"onnen beim
Sto"s von zwei Protonen maximal erzeugt werden?
}
\item Welche Gesamtenergie $W$ m"usste ein Proton haben, das auf ein ruhendes
Proton geschossen die gleiche Schwerpunktsenergie $W'$ h"atte wie im LHC?
Verwende die Energie-Impulsrelation f"ur einzelne Teilchen und folgenden Satz:
\begin{center}
\fbox{\parbox[t]{10cm}{
Sind S und S$'$ zwei Inertialsysteme, dann gilt f"ur die Gesamtenergie 
$W_{\text{ges}}$ und den Gesamtimpuls $p_{\text{ges}}$ aller Teilchen
\[W_{\text{ges}}^2-p_{\text{ges}}^2c^2={W_{\text{ges}}'}^2-{p_{\text{ges}}'}^2c^2\]
(Energie-Impuls-Invariante).
}}
\end{center}
Dr"ucke $W$ zun"achst allgemein durch $W'$ und $W_0=m_{\text{p}}c^2$ aus.
\item Beweise, dass bei der Zerstrahlung eines Teilchens mit seinem Antiteilchen
mindestens zwei Photonen entstehen.

Berechne die Wellenl"ange $\lambda$ der beiden Photonen, die beim Sto"s eines Protons
mit der Geschwindigkeit $v_1=0{,}8c$ und eines Antiprotons ($v_2=-0{,}8c)$ entstehen.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D n=\frac{2(W'-W_0)}{2W_0}=\frac{W'}{W_0}-1=7459$
\item $W_{\text{ges}}=W+W_0$, $p_{\text{ges}}=p$,
$W_{\text{ges}}'=2W'$ und $p_{\text{ges}}'=0\QDQ$
\begin{align*}
(W+W_0)^2-p^2c^2 &= (2W')^2\\
\underbrace{W^2-p^2c^2}_{W_0^2}+2WW_0+W_0^2 &= 4W'^2\\
2WW_0+2W_0^2 &= 4W'^2\\
WW_0+W_0^2 &= 2W'^2\\
W &= \frac{2W'^2-W_0^2}{W_0}= \frac{2W'^2}{W_0}-W_0\\
W &= 1{,}0\cdot 10^{17}\,\text{eV}=0{,}017\,\text{J}
\end{align*}
\item Im Schwerpunktsystem der beiden Teilchen ist der Gesamtimpuls vor der Kollision null,
d.h. der Gesamtimpuls der Photonen muss auch null sein. Da die Energie der Photonen nicht null
ist, ist auch der Impuls eines Photons nicht null und nur mehrere Photonen k"onnen den Gesamtimpuls null haben.

Wegen $v_2=-v_1$ ist $p_{\text{ges}}=0$, d.h. die beiden Photonen haben den gleichen Impulsbetrag und damit 
auch die gleiche Energie $W_\gamma$:
\[2W_\gamma=2W=2\gamma W_0=\frac{2W_0}{0{,}6}=2hf=\frac{2hc}{\lambda}\]
\[\lambda=\frac{hc}{W}=\frac{0{,}6hc}{W_0}=
\frac{0{,}6hc}{m_{\text{p}}c^2}=\frac{0{,}6h}{m_{\text{p}}c}=
7{,}9\cdot 10^{-16}\,\text{m}\]
\end{enumerate}
}
