\ANG{
\textbf{Die Radiokarbonmethode}
\begin{enumerate}
        	\item Erl"autere kurz die C--14--Methode zur Altersbestimmung von organischem Material.
        	\item C--14 zerf"allt "uber einen $\beta^{-}$--Zerfall. Gib die vollst"andige Reaktionsgleichung an.
        \end{enumerate}
        Um "agyptische Dynastien in ihrer zeitlichen Abfolge festzulegen, wurden von dem Holz der Sarkophage von Pharaonen Proben genommen.
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumii}{2}
            \item Die Holzprobe vom Sarkophag des Tut-Ench-Amun zeigt eine Aktivit"at von $9{,}10\,\mathrm{min}^{-1}$.
                  Wie viele C--14--Atome sind in der Holzprobe, wenn die Halbwertszeit von C--14 
                  $5730\,\mathrm{a}$ betr"agt?
            \item Die Masse der genommenen Holzprobe betr"agt $1{,}00\,\mathrm{g}$. Wie viele C--12--Atome befinden sich in dieser Holzprobe.
                  Aufgrund des geringen Anteils von C--14 in organischem Material darf der C--14--Anteil f"ur diese Rechnung n"aherungsweise vernachl"assigt werden.
                  Welchen Wert hat das Verh"altnis von der Anzahl der C--14--Atome zur Anzahl der C--12--Atome in dieser Probe?
        \end{enumerate}
        \begin{enumerate}
            \setcounter{enumii}{4}
        	\item Das Verh"altnis der Anzahl von C--14--Atomen zur Anzahl der C--12--Atomen
        	      betr"agt in lebendem Holz etwa $k_0=1{,}18\cdot10^{-12}$. Berechne aus dieser Angabe und dem Ergebnis der vorigen Aufgabe das Alter der Probe.
        	\item Welche qualitative Aussage kann man "uber das in der vorigen Aufgabe berechnete Alter machen, 
        	      wenn der Wert von $k_0$ beim Schlagen des Holzes f"ur den Sarkophag gr"o\ss er als der gegebene Wert war?
        	\item Aus welchem Grund wird die C--14--Methode nur f"ur Gegenst"ande, deren vermutetes Alter kleiner als 50\,000 Jahre ist, angewendet?
        \end{enumerate}
}
\LSG{
	\begin{enumerate}
		\item Durch kosmische H"ohenstrahlung werden in der Atmosph"are freie Neutronen produziert,
                die sich mit Stickstoff zu ${}^{14}\mathrm{C}$ verbinden:

                \[{}^{14}_{\ 7}\mathrm{N} + {}^{1}_{0}\mathrm{n} \quad\rightarrow\quad {}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}^{\ast} + {}^{\ 1}_{\ 1}\mathrm{p}\]

                Der Zerfall
                \[{}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}^{\ast} \quad{\overset{\beta^{-}}{\rightarrow}}\quad
                {}^{14}_{\ 7}\mathrm{N} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-} + {}^{0}_{0}\overline{\nu}\]

                hat die Halbwertszeit $T_{\mathrm{H}}=5730\,\mathrm{a}$.

                Ist die Intensit"at der H"ohenstrahlung konstant, dann stellt sich
                mit der Zeit ein konstantes Verh"altnis von ${}^{14}\mathrm{C}$ zu ${}^{12}\mathrm{C}$--Isotopen ein (radioaktives Gleichgewicht!).
                Im Jahre 1950 betrug dieses Verh"altnis in lebendem Gewebe

                \begin{equation*}
                    k_0 = \dfrac{N_{\mathrm{C}14}}{N_{\mathrm{C}12}} = 1{,}18\cdot10^{-12}\label{eq1}
                \end{equation*}

                Im toten Gewebe findet kein Austausch mit dem $\mathrm{CO}_2$ der Luft statt und das
                ${}^{14}\mathrm{C}$ wird immer weniger. Das Verh"altnis $k = \dfrac{N_{\mathrm{C}14}}{N_{\mathrm{C}12}}$
                einer toten Probe wird im Allgemeinen durch Massenspektroskopie bestimmt.

                Der chemisch extrahierte Kohlenstoff wird mit C"asiumionen beschossen. Dabei treten einfach negativ geladene Kohlenstoffionen aus,
                die beschleunigt und dann in ein Magnetfeld geschossen werden. Richtig plazierte Z"ahler bestimmen
                dann das gesuchte Verh"altnis $k$. Aus dem Zerfallsgesetz f"ur die Zahl der ${}^{14}\mathrm{C}$--Kerne folgt nach
                Division durch $N_{\mathrm{C}12}$:

                \[k(t) = k_0\cdot\mathrm{e}^{-\lambda\,t}\]

                und daraus die Zeit $t$ vom Absterben der Probe bis zur Messung.
        \item ${}^{14}_{\ 6}\mathrm{C}^{\ast} \quad{\overset{\beta^{-}}{\rightarrow}}\quad 
              {}^{14}_{\ 7}\mathrm{N} + {}^{0}_{-1}\mathrm{e}^{-} + {}^{0}_{0}\overline{\nu}$
        \item $A=\lambda\,N\quad\Rightarrow\quad N=\dfrac{A}{\lambda}=\dfrac{A\,T_{\mathrm{H}}}{\ln 2}=3{,}95\cdot10^{10}$
        \item $\dfrac{1{,}00\cdot10^{-3}\,\mathrm{kg}}{12\,\mathrm{u}}=5{,}02\cdot10^{22}$
          
              $k=\dfrac{3{,}95\cdot10^{10}}{5{,}02\cdot10^{22}}=7{,}87\cdot10^{-13}$
        \item $k\left(t\right)=k_0\cdot\mathrm{e}^{-\lambda\,t}\quad\Rightarrow\quad
              t=\dfrac{\ln\dfrac{k_0}{k\left(t\right)}}{\ln 2}\cdot 5730\,\mathrm{a}=3350\,\mathrm{a}=3{,}35\cdot10^3\,\mathrm{a}$ 
          
              (Ergebnis mit gerundeten Werten, mit exakten Werten $3339\,\mathrm{a}=3{,}34\cdot10^3\,\mathrm{a}$).
        \item Wie man an der Gleichung aus der vorigen Aufgabe ablesen kann ist die Probe in Wirklichkeit "alter.
        \item Nach etwa 9 Halbwertszeiten ist die spezifische Aktivit"at sehr klein und die Masse der genommenen Probe im Bereich von wenigen Gramm liegt.
	\end{enumerate}

}