\ANG{
In Raumsonden werden sogenannte {\em Nuklearbatterien} als Energiequelle
verwendet. Eine dieser Batterien enth"alt zur Zeit $t_{0}=0$ genau
$m=316{,}3\,\text{g}$ des Alphastrahlers 
$\nucl{238}{94}{Pu}$ mit der Halbwertszeit $T=87{,}7\,\text{a}$. 

\begin{tabular}[t]{l|cccc}
Nuklid  & $\nucl{238}{94}{Pu}$ & $\nucl{236}{92}{U}$ & $\nucl{234}{92}{U}$ &
$\nucl{4}{2}{He}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
Masse in u & 238,0495598 & 236,0455680 & 234,0409521 & 4,002603254
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Schreibe die Reaktionsgleichung des Alphazerfalls von
  $\nucl{238}{94}{Pu}$ hin und berechne die Energie $\Delta W$, die beim
  Zerfall eines Atoms frei wird.
\item $N(t)$ ist die Zahl de Pu-Atome in der Batterie. Berechne $N_{0}=N(0)$
  und zeichne den Grafen von $N(t)$ im Intervall $[0\,;\,400\,\text{a}]$
  ($t=200\,\text{a}\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$, 
   $N_{0}\,\widehat{=}\,8\,\text{cm}$).
  Berechne die Zeit $t_{1}$, zu der noch 10\,\% der anf"anglich vorhandenen
  Pu-Atome in der Batterie sind.
\item Wie viele Pu-Atome zerfallen zwischen $t_{0}$ und $t_{0}+1\,\text{h}$?
  Wie gro"s ist die Aktivit"at $A_{0}$ zur Zeit $t_{0}$? Wie gro"s ist die
  elektrische Leistung der Batterie, wenn 8\,\% der Zerfallsenergie in
  elektrische Energie verwandelt werden?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\nucl{238}{94}{Pu}\to\nucl{234}{92}{U}+\nucl{4}{2}{He}$
\begin{align*}
\Delta W&=(M_{\text{Pu238}}-M_{\text{U234}}-M_{\text{He4}})c^{2}=\\
 &= (238,0495598-234,0409521-4,002603254)uc^{2}=\\
 &=0.00600453\,uc^{2}=8{,}961\cdot 10^{-13}\,\text{J}=5{,}593\,\text{MeV}
\end{align*}
\item \EPSR{7cm}{kerr1131}{7cm}{}{
\PSFM{t}{\rule{2mm}{0mm}$\frac{t}{\text{a}}$} \PSFM{y}{\raisebox{3mm}{$N$}} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{50}{50} 
\PSFM{100}{100} \PSFM{150}{150} \PSFM{200}{200} \PSFM{250}{250} 
\PSFM{300}{300} \PSFM{350}{350} \PSFM{400}{400} 
\PSFM{6e+23}{} \PSFM{7e+23}{} \PSFM{5e+23}{} \PSFM{4e+23}{$\frac{N_{0}}{2}$} 
\PSFM{8e+23}{$N_{0}$} \PSFM{3e+23}{} \PSFM{2e+23}{} \PSFM{1e+23}{}   
}{ 
$\D N_{0}=\frac{m}{M_{\text{Pu238}}}=8{,}00\cdot 10^{23}$\\[2mm]
$\D N(t_{1})=N_{0}\cdot 2^{-\frac{t_{1}}{T}}=0{,}1\,N_{0}$\\[2mm]
$\D 2^{-\frac{t_{1}}{T}}=0{,}1\QDQ 2^{\frac{t_{1}}{T}}=10$\\[2mm]
$\D \frac{t_{1}}{T}=3{,}322\QDQ t_{1}=291\,\text{a}$\\[2mm]
In der Zeichnung: $T\,\widehat{=}\,2{,}2\,\text{cm}$
}
\item $\Delta N=N_{0}-N_{0}\cdot
  2^{-\frac{1\,\text{h}}{T}}=N_{0}(1-2^{-\frac{1}{768778}})=
  N_{0}\cdot9{,}016\cdot 10^{-7}=7{,}21\cdot 10^{17}$\\[2mm]
$\D A(0)=A_{0}=\frac{\Delta N}{3600\,\text{s}}=2{,}00\cdot
10^{14}\,\RFRAC{1}{s}$,\quad $A(t)=A_{0}\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$\\[2mm]
$\D P_{0}=P(0)=\frac{\Delta N\cdot\Delta W}{\Delta t}\cdot 80\%=
A_{0}\cdot\Delta W\cdot0{,}08=
180\,\text{W}\cdot0{,}08=14{,}4\,\text{W}$\\[2mm] 
$P(t)=P_{0}\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$
\end{enumerate} 
}
