\ANG{
Belastung von Wild aufgrund der Tschernobyl--Katastrophe

Nach der Katastrophe von Tschernobyl spielt heute praktisch nur noch Cs--137 wegen seiner relativ langen
Halbwertszeit von $30\,\mathrm{a}$ f\"{u}r die radioaktive Belastung des Menschen eine Rolle.

Nach der Katastrophe wurde eine Probe von einem Wildschwein genommen, f\"{u}r die man eine spezifische Aktivit\"{a}t von
$20\,\frac{\mathrm{kBq}}{\mathrm{kg}}$ festgestellt hat. Obwohl diese Probe einen \emph{deutlich} h\"{o}heren Wert als
die meisten anderen Proben aufwies und Wildbret und Pilze (vor allem heute)
\emph{deutlich} st\"{a}rker belastet sind als andere Lebensmittel, soll im folgenden ermittelt werden, wie stark der Mensch durch
den Verzehr von $250\,\mathrm{g}$ Wildschwein der angesprochenen Probe belastet w\"{u}rde.

\begin{enumerate}
  \item Die biologische Halbwertszeit --- das ist die Zeit nach der K\"{o}rper die H\"{a}lfte der mit der Nahrung aufgenommenen radioaktiven
        Substanz ausgeschieden hat --- ist f\"{u}r Frauen $65\,\mathrm{d}$ und betr\"{a}gt f\"{u}r M\"{a}nner $110\,\mathrm{d}$.

        Die Kombination aus der biologischen und der physikalischen Halbwertszeit nennt man effektive Halbwertszeit $T_{\mathrm{eff}}$.
        Begr\"{u}nde, dass sie durch
        $$T_{\mathrm{eff}}=\frac{T_{\text{biologisch}}\cdot T_{\text{physikalisch}}}{T_{\text{biologisch}}+T_{\text{physikalisch}}}$$
        gegeben ist und berechne sie f\"{u}r Frauen bzw. f\"{u}r M\"{a}nner.
  \item Die Anzahl der Zerf\"{a}lle $Z$, die im K\"{o}rper des Menschen stattfinden wird durch
        $$Z=\int_0^{T_{\text{Lebensalter}}-T_{\text{Aktuelles Alter}}} A(t)\,\mathrm{d}t$$
        berechnet.
        Weil $T_{\mathrm{eff}}\ll T_{\text{Lebensalter}}-T_{\text{Aktuelles Alter}}$ ist, gilt
        $$Z\approx\int_0^{\infty} A(t)\,\mathrm{d}t$$
        Berechne $Z$ f\"{u}r eine Frau bzw. f\"{u}r einen Mann.
  \item Cs--137 ist ein $\beta^{-}$--Strahler. Der Qualit\"{a}tsfaktor von $\beta^{-}$--Teilchen ist $q=1$.
        Die maximale Energie dieser Teilchen ist $0{,}511\,\mathrm{MeV}$. Vereinfachend wollen wir annehmen, dass jedes der
        emittierten Elektronen diese maximale Energie hat. Wir wollen annehmen, dass ein Mann eine Masse von $75\,\mathrm{kg}$ und
        eine Frau von $60\,\mathrm{kg}$ hat.

        Berechne die \"{A}quivalentdosis f\"{u}r einen Mann bzw. eine Frau.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item $N\left(t\right)=N\left(0\right)\cdot\exp\left({-\ln2\,\frac{t}{T_{\text{physikalisch}}}}\right)\cdot\exp\left({-\ln2\,\frac{t}{T_{\text{biologisch}}}}\right)=$
  
        $N\left(0\right)\cdot\exp\left(-\ln2\cdot t\cdot\left(\frac{1}{T_{\text{physikalisch}}}+\frac{1}{T_{\text{biologisch}}}\right)\right)=N\left(0\right)\cdot\exp\left(-\ln2\cdot \frac{t}{T_{\text{eff}}}\right)$
        
        Frau: $65\,\mathrm{d}$; Mann: $1{,}1\cdot10^2\,\mathrm{d}$
        
  \item $A\left(0\right)=5{,}0\cdot10^3\,\mathrm{Bq}\;;\;A\left(t\right)=A\left(0\right)\cdot\exp\left(-\ln2\cdot\frac{t}{T_{\text{eff}}}\right)$
  
        Frau: $4{,}0\cdot10^{10}$; Mann: $6{,}8\cdot10^{10}$
  \item Frau: $0{,}054\,\mathrm{mSv}$; Mann: $0{,}074\,\mathrm{mSv}$
\end{enumerate}
}