\ANG{
\EPSR{9cm}{kerr1101}{5cm}{}{
\PSFM{D}{D} \PSFM{n}{n} \PSFM{T}{T}
\PSF{vo}{vorher} \PSF{na}{nachher} \PSFM{T}{T} 
}{
Zur Herstellung sehr schneller Neutronen werden Deuteriumkerne in einem
Beschleuniger auf die Gesamtenergie $W_{\text{D}}=199\,m_{\text{D}}c^{2}$
beschleunigt und auf ruhende Deuteriumkerne geschossen. Dabei entsteht ein
Tritiumkern und ein freies Neutron.
}\\[2mm]
Verwende folgende Massen:
\[m_{\text{D}}=2{,}0135532\,u,\quad
  m_{\text{T}}=3{,}0155007\,u,\quad
  m_{\text{n}}=1{,}00866491\,u\]
\begin{enumerate}
\item Wir betrachten nur Neutronen, die sich in Richtung der einfallenden
  Deuteriumkerne bewegen. Weise durch Einsetzen in die Erhaltungss"atze nach,
  dass das Neutron die Energie $W_{\text{n}}=396{,}01675\,m_{\text{n}}c^{2}$
  hat. Berechne dazu die Energie $W_{\text{T}}$ des Tritiumkerns und alle
  notwendigen Impulse.
\item Das freie Neutron zerf"allt in seinem Ruhsystem mit der nicht genauer
  bekannten Halbwertszeit $t_{\frac12}=615\,\text{s}$.

  Schreibe die ausf"uhrliche Zerfallsgleichung des freien Neutrons hin.

  Warum ist die Halbwertszeit des freien Neutrons so schwierig zu messen?
\item Nehmen wir an, dass unser Beschleuniger auf dem Mond steht und die
  erzeugten Neutronen ins All schie"st. Nach welcher Flugstrecke sind noch 
  $10\,\%$ der Neutronen vorhanden?
\end{enumerate} 
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mit $\gamma_{\text{D}}=199$ und $\gamma_{\text{n}}=396{,}01675$ gilt:\\[2mm]
  $\D W_{\text{T}}=(\gamma_{\text{D}}+1)m_{\text{D}}c^{2}-\gamma_{\text{n}}m_{\text{n}}c^{2}=
  4{,}8689\cdot
  10^{-10}\,\text{J}=3038{,}94\,\text{MeV}=
  \underbrace{1{,}08189}_{\gamma_{\text{T}}}\,m_{\text{T}}c^{2}$\\[2mm] 
  $\D W^{2}=W_{0}^{2}+p^{2}c^{2}\quad\DANN\quad p=
   \frac{1}{c}\sqrt{W^{2}-W_{0}^{2}}=\frac{W_{0}}{c}\sqrt{\gamma^{2}-1}= 
   mc\sqrt{\gamma^{2}-1}$\\[2mm]  
  $p_{\text{D}}=m_{\text{D}}c\sqrt{\gamma_{\text{D}}^{2}-1}=1{,}9947\cdot 
  10^{-16}\,\RFRAC{kg\cdot m}{s}=400{,}692uc$\\[2mm] 
  $p_{\text{T}}=m_{\text{T}}c\sqrt{\gamma_{\text{T}}^{2}-1}=6{,}1983\cdot 
  10^{-19}\,\RFRAC{kg\cdot m}{s}=1{,}245uc$\\[2mm] 
  $p_{\text{n}}=m_{\text{n}}c\sqrt{\gamma_{\text{n}}^{2}-1}=1{,}9885\cdot 
  10^{-16}\,\RFRAC{kg\cdot m}{s}=399{,}447uc$\\[2mm] 
  $\DANN\qquad p_{\text{D}}=p_{\text{T}}+p_{\text{n}}$
\item $\text{n}\to \text{p}^{+}+\text{e}^{-}+\overline{\nu}_{\text{e}}$\\[2mm]
  Freie Neutronen existieren viel zu kurz \GF{in Freiheit}, da sie beim
  Auftreffen auf Materie sofort von anderen Kernen eingefangen werden.
\item Mit $\D\lambda=\frac{\ln 2}{t_{\frac12}}$ gilt 
  $\D e^{-\lambda t'}=\frac{1}{10}\quad\DANN\quad
  t'=\frac{\ln 10}{\lambda}=\frac{\ln 10\cdot t_{\frac12}}{\ln 2}=
  3{,}32\cdot t_{\frac12}=2043\,\text{s}$\\[2mm]
  $\D t=\frac{t'}{\sqrt{1-\beta_{\text{n}}^{2}}}=\gamma_{\text{n}}t'=
  8{,}09\cdot 10^{5}\,\text{s}$,\qquad
  $\D\beta_{\text{n}}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma_{\text{n}}^{2}}}=
   0{,}9999968\approx 1$\\[2mm]
  $\D x=\beta_{\text{n}}ct\approx ct=8{,}09\cdot 10^{5}\,\text{Ls}=
  225\,\text{Lh}=9{,}36\,\text{Ld}=2{,}43\cdot 10^{14}\,\text{m}$
\end{enumerate}
} 