\ANG{
Bekanntlich nehmen wir T{\"o}ne von sich uns n{\"a}hernden oder entfernenden Schallquellen in einer anderen Tonh{\"o}he wahr, wie wenn sich die Quellen in Ruhe relativ zu uns befinden.
Dieser Effekt trifft auch auf Lichtquellen zu. Wir nennen ihn den ,,optischen Dopplereffekt''. Nur {\ "a}ndert sich in diesem Fall nicht die Tonh{\"o}he, sondern die Farbe, d.h. die Wellenl{\"a}nge und die Frequenz, des von uns betrachteten Lichts.

Wenn wir mit $\lambda_{\text{S}}$ die Wellenl{\"a}nge des von einem Objekt ausgesandten Lichts bezeichnen und  mit $\lambda_{\text{E}}$ die des von uns empfangenen Lichts, dann gilt zwischen diesen Wellenl{\"a}ngen
der Zusammenhang
\[\lambda_{\text{E}}= \lambda_{\text{S}}\,\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},\]

wobei bekanntlich $\beta=\frac{\tilde{v}}{c}$, mit $\tilde{v}=-v$ bzw $\tilde{v}=v$ als Geschwindigkeit des Senders und mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ im Vakuum, ist.
\begin{enumerate}
	\item In Richtung welcher Farbe am Ende des sichtbaren Spektrums ist eine Wellenl{\"a}nge verschoben, wenn sich der Sender von uns entfernt ($\beta>0$) bzw. sich uns n{\"a}hert ($\beta<0$)?
\end{enumerate}
Um anzugeben wie schnell sich uns ein astronomisches Objekt n{\"a}hert bzw. sich dieses von uns entfernt verwenden Astrophysiker den sogenannten Redshift, der durch
\[z=\frac{\lambda_{\text{E}}-\lambda_{\text{S}}}{\lambda_{\text{S}}}\]
definiert wird.
\begin{enumerate}
        \setcounter{enumii}{1}
	\item Erkl{\"a}re welche anschauliche Bedeutung der Redshift $z$ hat. Welche Folgerung kann man aus dem Vorzeichen von $z$ ziehen?
	\item Der Rekordhalter unter den astronomischen Objekten, f{\"u}r die ein Redshift ermittelt wurde ist die Galaxie UDFy-38135539.  F{\"u}r diese Galaxie ist $z=8{,}6$.
                  Welchen Betrag hat die Relativgeschwindigkeit von UDFy-38135539 bez{\"u}glich unserer Erde?
	\item Wieso ist die so ermittelte Geschwindigkeit im Allgemeinen kleiner als die tats{\"a}chliche Geschwindigkeit eines astronomischen Objekts?
\end{enumerate}
Aus der Messung des Redshifts von mehreren Sternen hat der  US-Astronom Edwin Hubble geschlossen, dass unser Universum als Ganzes expandiert.
Ein Objekt ,,flieht'' umso schneller von der Erde, je weiter es von uns entfernt ist. Diesen Zusammenhang hat Hubble mathematisch durch
\[v \approx H_0 \cdot D,\]
mit der Fluchtgeschwindigkeit $v$, der Hubble-Konstanten $H_0 \approx (74{,}2 \pm 3{,}6) \ \frac{\rm km}{\rm s \cdot Mpc}$ und der Entfernung $D$ des Objekts von der Erde.
\begin{enumerate}
        \setcounter{enumii}{4}
	\item Wie weit ist UDFy-38135539 danach von uns entfernt? Gib eine untere und eine obere Grenze f{\"u}r diese Entfernung in Lichtjahren an ($1\,\mathrm{pc}\approx3{,}26\,\mathrm{Lj}$).
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Farbe ist f{\"u}r $\beta>0$ ins Rote und f{\"u}r $\beta<0$ ins Blaue verschoben.
\item Der Anteil der {\"A}nderung der Wellenl{\"a}nge bezogen auf die Wellenl{\"a}nge des vom Sender ausgestrahlten Lichts. Wenn $z$ positiv ist, dann entfernt sich das Objekt von uns. Ist $z$ negativ, dann n{\"a}hert sich das Objekt der Erde.
\item $\frac{\lambda_{\text{E}}}{\lambda_{\text{S}}}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}},  \frac{\lambda_{\text{E}}}{\lambda_{\text{S}}}=z+1$

	 Damit ist $z+1=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}$. Aufl{\"o}sen nach $\beta$ liefert $\beta=\frac{\left(z+1\right)^2-1}{\left(z+1\right)^2+1}=\frac{9{,}6^2-1}{9{,}6^2+1}=0{,}98$.

	D.h., dass sich die Galaxie mit etwa $98\%$ der Lichtgeschwindigkeit von uns entfernt.
\item Wir k{\"o}nnen von der Erde aus --- auf diese Weise --- nur die Radialkomponente der Geschwindigkeit eines astronomischen Objektes messen. Der Betrag der Geschwindigkeit ist im Allgemeinen gr{\"o}{\ss}er als diese.
\item $D=\frac{v}{H_0}$, $12{,}3\cdot10^9\,\mathrm{Lj}\leq v\leq12{,}3\cdot10^9\,\mathrm{Lj}$
\end{enumerate}
}
