\ANG{
{\bfseries Ein Modell zur Erkl"arung der Anomalie des Wassers}\\[2mm]
Da sich Wassermolek"ule auf Grund ihrer Bauweise und ihrer Ladungsverteilung
auf verschiedene Arten zu gr"o"seren Gebilden vereinigen k"onnen, gibt es
nicht nur verschiedene Sorten von Eis, sondern nach neuesten
Forschungsergebnissen auch zwei Formen des fl"ussigen Wassers, eine mit
gr"o"serer und eine mit kleinerer Dichte. Die Wasserform mit der kleineren
Dichte (LD f"ur Low Density) kann man sich vereinfacht wie ganz winzige
Eiskristalle vorstellen, die in der dichteren Form (HD f"ur High Density)
schwimmen. Der Anteil des LD-Wassers nimmt mit steigender Temperatur $T$ st"andig
ab und verschwindet bei ca. $30\,\GC$ ganz.
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{|l|c|c|c|}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{Ein einfaches Wassermodell, g"ultig f"ur $T_{0}=0\GC$ bis 
  $T_{1}=30\GC$}\\\hline
  & Dichte bei $0\,\GC$ & Volumenaus- & 
  Bruchteil der Gesamtmasse\\
 &&dehnungszahl &\\\hline
LD & $\varrho_{\text{L0}}=0{,}9809\,\RFRAC{g}{cm^{3}}$ & 
    $\gamma_{\text{L}}=0$ & 
  $\beta(T)=2{,}123\cdot 10^{-4}\left(\frac{T}{\GC}-30\right)^{2}$
  \rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\\hline
HD & $\varrho_{\text{H0}}=1{,}00441\,\RFRAC{g}{cm^{3}}$ &
$\gamma_{\text{H}}=0{,}0002934\,\RFRAC{1}{\GC}$ & $1-\beta(T)$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\\hline 
\end{tabular}
\end{center}
Ist $m$ die Gesamtmasse des Wassers, dann sind die Massen der beiden
Wasserarten bei der Temperatur $T$
\[m_{\text{L}}=\beta(T)\cdot m\quad\text{und}\quad
  m_{\text{H}}=m-m_{\text{L}}=(1-\beta(T))\cdot m\]
Der Wasserteil mit der geringeren Dichte (also mit dem gr"o"seren Volumen pro
Masse) wird mit steigender Temperatur weniger, wodurch das Gesamtvolumen
sinkt. Andererseits dehnt sich das HD-Wasser mit steigender Temperatur aus,
wodurch das Gesamtvolumen steigt. Beide Effekte zusammen ergeben die Anomalie
des Wassers. 
\begin{enumerate}
\item Erstelle eine Wertetabelle f"ur $\beta(T)$ 
$\left(\frac{T}{\GC}\in\{0,10,15,20,25,30\}\right)$ und zeichne den Grafen
von $\beta$ in geeignet gew"ahlten Einheiten. Wieviel Prozent der gesamten Masse des
Wassers bestehen bei $0\GC$ aus LD- bzw. HD-Wasser?
\item Beweise f"ur das Volumen des Wassers der Gesamtmasse $m$ im Intervall
  $[0,T_{1}]$: 
\[V(T)=V_{\text{L}}+V_{\text{H}}=m\left(\frac{\beta(T)}{\varrho_{\text{L0}}}+
   \frac{(1-\beta(T))(1+\gamma T)}{\varrho_{\text{H0}}}\right)\]
Erstelle eine Wertetabelle f"ur $V(T)$ mit $m=1\,\text{kg}$ f"ur alle
ganzzahligen Temperaturen im Intervall $[0\GC,8\GC]$ und zeichne den Grafen von
$V(T)$ ($V$-Achse von 1000,0\,cm$^{3}$ bis 1000,2\,cm$^{3}$; 
$0{,}2\,\mathrm{cm^{3}}\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$).
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c|c}
$\frac{T}{\GC}$ & 0 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 \\\hline
$\beta$  & 0,1911 & 0,1327 & 0,0849 & 0,0478 & 0,0212 & 0,0053 & 0 \\
\end{tabular}\\[2mm]
Bei $0\GC$ besteht Wasser aus $\beta(0\GC)=19{,}11\%$ LD-Wasser und aus
80,89\% HD-Wasser.

\EPSC{warr0832}{10cm}{}{
\PSFM{T}{$\frac{T}{\GC}$} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
\PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{} 
\PSFM{0}{0} \PSFM{1000.20}{} \PSFM{1000.06}{} \PSFM{1000.02}{}
 \PSFM{1000.10}{} \PSFM{1000.14}{} \PSFM{1000.18}{} 
\PSFM{1000.00}{\!\!\!\!1000,00}
\PSFM{1000.04}{\!\!\!\!1000,04}
\PSFM{1000.08}{\!\!\!\!1000,08}
\PSFM{1000.12}{\!\!\!\!1000,12} 
\PSFM{1000.16}{\!\!\!\!1000,16} 
\PSFM{y}{$\frac{V}{\mathrm{cm}^{3}}$}  
}
\item Da die Volumenausdehnungszahl $\gamma_{\text{L}}=0$ ist, ist die Dichte
  des LD-Wassers konstant 
\[\varrho_{\text{L}}=\varrho_{\text{L0}}.\] 
F"ur die Dichte des HD-Wassers gilt
\[\varrho_{\text{H}}(T)=\frac{\varrho_{\text{H}0}}{1+\gamma_{\text{H}}T}\]
\begin{align}
V(T)&=V_{\text{L}}+V_{\text{H}}=
  \frac{m_{\text{L}}}{\varrho_{\text{L}}}+\frac{m_{\text{H}}}{\varrho_{\text{H}}}=
  \frac{m_{\text{L}}}{\varrho_{\text{L0}}}+
  \frac{m_{\text{H}}(1+\gamma_{\text{H}}T)}{\varrho_{\text{H}0}}=
  \nonumber\\
  &= \frac{\beta(T)m}{\varrho_{\text{L0}}}+
  \frac{m(1-\beta(T))(1+\gamma_{\text{H}}T)}{\varrho_{\text{H}0}}=
  \nonumber\\
  &= m\left(\frac{\beta(T)}{\varrho_{\text{L0}}}+
   \frac{(1-\beta(T))(1+\gamma_{\text{H}} T)}{\varrho_{\text{H0}}}\right) \nonumber
\end{align}
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c}
$\frac{T}{\GC}$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  \\\hline
$\frac{V}{\mathrm{cm^{3}}}$  & 1,000169 & 1,000110 & 1,000068 & 
 1,000043 & 1,000035 
\end{tabular}\\[2mm]
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
$\frac{T}{\GC}$ & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline
$\frac{V}{\mathrm{cm^{3}}}$  & 1,000042 & 1,000066 & 1,000104 &
 1,000158
\end{tabular}\\[2mm]
\EPSC{warr0831}{10cm}{}{
\PSFM{T}{$\frac{T}{\GC}$} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{4}{4} 
\PSFM{5}{5} \PSFM{6}{6} \PSFM{7}{7} \PSFM{8}{} 
\PSFM{0}{0} \PSFM{1000.20}{} \PSFM{1000.06}{} \PSFM{1000.02}{}
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\PSFM{y}{$\frac{V}{\mathrm{cm}^{3}}$}  
}
\end{enumerate}
}
