\ANG{
Das Phosphorisotop $\nucl{30}{15}{P}$ ist ein $\beta^{+}$-Strahler mit der
Halbwertszeit $T=150\,\text{s}$. Zur Zeit $t=0$ ist ein winziges Pr"aparat von 
$\nucl{30}{15}{P}$ mit $N_{0}=2{,}00\cdot 10^{18}$ Atomen vorhanden.
\begin{enumerate}
\item Schreibe die ausf"uhrliche Zerfallsgleichung von $\nucl{30}{15}{P}$ hin.
\item Welche Masse $m$ hat das Phosphorpr"aparat?
\item $N(t)$ bezeichnet die Zahl der Phosphoratome zur Zeit $t$. F"ulle
  folgende Wertetabelle aus und zeichne den Grafen von $N$ mit folgenden
  Einheiten: $T\,\widehat{=}\,3\,\text{cm}$, 
  $N=10^{18}\,\widehat{=}\,5\,\text{cm}$.
  \begin{center}
  \begin{tabular}[t]{p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}}
  \rule[-4mm]{0mm}{8mm}$\D\frac{t}{\text{s}}$ & 
  75 & 150 & 300 & 450 & 600 \\\hline
  \rule[-3mm]{0mm}{11mm}$\D\frac{N(t)}{10^{17}}$ &  &  &  &  &
  \end{tabular}
  \end{center}
\item Zu welcher Zeit $t_{1}$ sind noch $N_{1}=7{,}00\cdot 10^{17}$ Atome des
  Phosphors vorhanden? Entnimm den ungef"ahren Wert von $t_{1}$ in
  nachvollziehbarer Weise dem Diagramm und verbessere den Wert durch Probieren
  auf drei geltende Ziffern.
\item Berechne die Zahl $\Delta N$ der Atome, die im Zeitintervall
  $[t_{2};t_{3}]$ mit $t_{2}=298\,\text{s}$ und $t_{3}=302\,\text{s}$
  zerfallen. Wie gro"s ist demnach die Aktivit"at $A(300\,\text{s})$?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\nucl{30}{15}{P}\longrightarrow\nucl{30}{14}{Si}+\text{e}^{+}+\nu_{\text{e}}$
\item $m=N_{0}M\approx N_{0}\cdot 30u=9{,}96\cdot 10^{-8}\,\text{kg}\approx 
  0{,}10\,\text{mg}$
\item \parbox[t]{5cm}{
  $\D N(75\,\text{s})=N_{0}\cdot 2^{-\frac{1}{2}}=\frac{N_{0}}{\sqrt{2}}$
  }\hfill\begin{tabular}[t]{p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}}
  \rule[-4mm]{0mm}{8mm}$\D\frac{t}{\text{s}}$ & 
  75 & 150 & 300 & 450 & 600 \\\hline
  \rule[-3mm]{0mm}{11mm}$\D\frac{N(t)}{10^{17}}$ & 
  14,1  & 10,0 & 5,00 & 2,50 & 1,25
  \end{tabular}
  \EPSC{kerr1121}{10cm}{}{
  \PSFM{t}{$\frac{t}{\text{s}}$} \PSFM{N}{$\frac{N}{10^{17}}$} 
  \PSFM{t1}{$t_{1}$} \PSFM{100}{100} \PSFM{200}{200} \PSFM{300}{300} 
  \PSFM{400}{400} \PSFM{500}{500} \PSFM{600}{600}
  \PSFM{0}{0} \PSFM{2}{2} \PSFM{4}{4} \PSFM{6}{6} \PSFM{8}{8} 
  \PSFM{10}{10} \PSFM{12}{12} \PSFM{14}{14} \PSFM{16}{16} \PSFM{18}{18}
  \PSF{T}{\parbox[t]{5.5cm}{\normalsize
   $\D N(t_{1})=2\cdot 10^{18}\cdot 2^{-\frac{t_{1}}{T}}=7\cdot 10^{17}$\\[2mm]
   $\D 2^{\frac{t_{1}}{T}}=\frac{20}{7}=2{,}857$\\[2mm]
   $\D \frac{t_{1}}{T}=1{,}5146$\\[2mm]
   $t_{1}=227\,\text{s}$}}
  }
\item $\D N(t_{2})=N_{0}\cdot 2^{-\frac{t_{2}}{T}}=
   2\cdot 10^{18}\cdot 2^{-\frac{298}{150}}=5{,}046\cdot 10^{17}$\\[2mm]
$\D N(t_{3})=N_{0}\cdot 2^{-\frac{t_{3}}{T}}=
   2\cdot 10^{18}\cdot 2^{-\frac{302}{150}}=4{,}954\cdot 10^{17}$\\[2mm]
$\Delta N=N(t_{2})-N(t_{3})=9{,}2\cdot 10^{15}\QDQ
 A(300\,\text{s})=\frac{\Delta N}{4\,\text{s}}=2{,}3\cdot 10^{15}\,\RFRAC{1}{s}$
\end{enumerate} 
}
