\ANG{
In einer Raumsonde, die mit der Geschwindigkeit $v=10{,}0\,\RFRAC{km}{s}$
auf eine interstellare Reise geschickt wird, befinden sich beim Start
($t_{0}=0$) genau $m_{0}=100{,}0\,$g des Isotops $\nucl{146}{62}{Sm}$ mit der Halbwertszeit
$T=1{,}03\cdot 10^{8}\,$a ($\alpha$-Strahler). 
In ferner Zukunft ($t_{1}$) sammelt ein au"serirdisches Raumschiff die Sonde
ein und findet noch $m_{1}=92{,}5\,\text{g}$ Samarium an Bord.  
\begin{enumerate}
\item Berechne die Zahl $N_{0}$ der Samariumkerne zur Zeit $t_{0}=0$ 
und $N(t_{1})$ zur Zeit des Einsammelns.
\item Berechne die Zeit $t_{1}$ des Einsammelns. Wie viele Lichtjahre ist
  die Sonde dann von der Erde entfernt? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D N_{0}=\frac{m}{M_{\text{Sm146}}}=\frac{0{,}1\,\text{kg}}{146\,u}=
  4{,}125\cdot 10^{23}$,\quad
$\D N_{1}=\frac{m_{1}}{M_{\text{Sm146}}}=\frac{0{,}0925\,\text{kg}}{146\,u}=
  3{,}815\cdot 10^{23}$
\item $\D N_{1}=N_{0}\cdot 2^{-\frac{t_{1}}{T}}\QDQ
2^{-\frac{t_{1}}{T}}=\frac{N_{1}}{N_{0}}=\frac{m_{1}}{m_{0}}=0{,}925
\QDQ \frac{t_{1}}{T}=0{,}1125$\\[2mm]
$t_{1}=0{,}1125\cdot T=1{,}16\cdot 10^{7}\,\text{a}$\\[2mm]
$\D x=t_{1}\cdot v=1{,}16\cdot 10^{7}\cdot365{,}25\cdot 24\cdot 3600\,\text{s}
\cdot 10000\,\RFRAC{m}{s}=3{,}66\cdot 10^{18}\,\text{m}$\\[2mm]
$\D 1\,\text{LJ}=
3\cdot 10^{8}\,\RFRAC{m}{s}\cdot365{,}25\cdot 24\cdot 3600\,\text{s}=
9{,}47\cdot 10^{15}\,\text{m}\QDQ x=386\,\text{LJ}$\\[2mm]
oder eleganter: $\D x=vt_{1}=\frac{v}{c}\cdot ct_{1}=
3{,}336\cdot 10^{-5}\cdot 1{,}16\cdot 10^{7}\,\text{LJ}=386\,\text{LJ}$
\end{enumerate}
}
