\ANG{
In die Grundmauern einer neuen Universit"at wird im Jahr 2008 
ein absolut dichter Edelstahlbeh"alter eingelassen, der $m=0{,}983\,$mg des
Alphastrahlers $\nucl{148}{64}{Gd}$ (Gadolinium) enth"alt. Die Halbwertszeit
des Nuklids ist $T=74{,}6\,\text{a}$. 

\begin{tabular}[t]{l|cccc}
Nuklid  & $\nucl{148}{64}{Gd}$ & $\nucl{144}{62}{Sm}$ & $\nucl{148}{65}{Tb}$ &
$\nucl{4}{2}{He}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm} \\\hline 
Masse in u & 147,9181146 & 143,9119994 & 147,9242722 & 4,002603254
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Schreibe die Reaktionsgleichung des Alphazerfalls von
  $\nucl{148}{64}{Gd}$ hin und berechne die Energie $\Delta W$ (in MeV), die beim
  Zerfall eines Atoms frei wird.
\item $N(t)$ ist die Zahl de Gd-Atome im Beh"alter, wobei $t_{0}=0$ der Zeit des
  Einlagerns entspricht. Berechne $N_{0}=N(0)$
  und zeichne den Grafen von $N(t)$ im Intervall $[0\,;\,300\,\text{a}]$
  ($t=100\,\text{a}\,\widehat{=}\,4\,\text{cm}$, 
   $N_{0}\,\widehat{=}\,8\,\text{cm}$).
\item In ferner Zukunft finden Arch"aologen den Beh"alter und stellen fest,
  dass er noch $N_{1}=1{,}26\cdot 10^{16}$ Gadoliniumatome enth"alt. In
  welchem Jahr wird er gefunden?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D\nucl{148}{64}{Gd}\to\nucl{144}{62}{Sm}+\nucl{4}{2}{He}$
\begin{align*}
\Delta W&=(M_{\text{Gd148}}-M_{\text{Sm144}}-M_{\text{He4}})c^{2}=\\
 &= (147{,}9181146-143{,}9119994-4,002603254)uc^{2}=\\
 &=0{,}003511868\,uc^{2}=5{,}24\cdot 10^{-13}\,\text{J}=3{,}27\,\text{MeV}
\end{align*}
\item \EPSR{7cm}{kerr1161}{7cm}{}{
\PSFM{t}{$\frac{t}{\text{a}}$} \PSFM{N}{$\frac{N}{10^{17}}$} \PSFM{0}{0} 
\PSFM{40}{40} 
\PSFM{100}{100} \PSFM{25}{2,5} \PSFM{200}{200} \PSFM{20}{20} 
\PSFM{300}{300} \PSFM{5}{5} \PSFM{10}{10} 
\PSFM{T}{$T$}    
}{ 
$\D N_{0}=\frac{m}{M_{\text{Gd148}}}=4{,}00\cdot 10^{18}$\\[2mm]
In der Zeichnung: $T\,\widehat{=}\,3{,}0\,\text{cm}$
}
\item 
$\D N(t_{1})=N_{0}\cdot 2^{-\frac{t_{1}}{T}}=3{,}15\cdot 10^{-3}\,N_{0}\QDQ
2^{-\frac{t_{1}}{T}}=3{,}15\cdot 10^{-3}\QDQ 2^{\frac{t_{1}}{T}}=317{,}46$\\[2mm]
$\D \frac{t_{1}}{T}=8{,}31\QDQ t_{1}=620\,\text{a}$\\[2mm]

\end{enumerate} 
}
