\ANG{
Belastung von Wild aufgrund der Tschernobyl--Katastrophe

Nach der Katastrophe von Tschernobyl spielt heute praktisch nur noch Cs--137 wegen seiner relativ langen
Halbwertszeit von $30{,}2\,\mathrm{a}$ f\"{u}r die radioaktive Belastung des Menschen eine Rolle.

Nach der Katastrophe wurde eine Probe von einem Wildschwein genommen, f\"{u}r die man eine spezifische Aktivit\"{a}t von
$20\,\frac{\mathrm{kBq}}{\mathrm{kg}}$ festgestellt hat. Obwohl diese Probe einen \emph{deutlich} h\"{o}heren Wert als
die meisten anderen Proben aufwies und Wildbret und Pilze (vor allem heute)
\emph{deutlich} st\"{a}rker belastet sind als andere Lebensmittel, soll im folgenden ermittelt werden, wie stark der Mensch durch
den Verzehr von $250\,\mathrm{g}$ Wildschwein der angesprochenen Probe belastet w\"{u}rde.

\begin{enumerate}
  \item Die biologische Halbwertszeit --- das ist die Zeit nach der K\"{o}rper die H\"{a}lfte der mit der Nahrung aufgenommenen radioaktiven
        Substanz ausgeschieden hat --- betr\"{a}gt f\"{u}r Frauen $65\,\mathrm{d}$ und f\"{u}r M\"{a}nner $110\,\mathrm{d}$.
        Auf welchen Bruchteil der Aktivit\"{a}t zum Zeitpunkt des Verzehrs ist f\"{u}r einen Mann die ,,biologische Aktivit\"{a}t'' und auf welchen die physikalische Aktivit\"{a}t
        von Cs--137 nach zehn biologischen Halbwertzeiten abgesunken?
  \item Die Kombination aus der biologischen und der physikalischen Halbwertszeit nennt man effektive Halbwertszeit $T_{\mathrm{eff}}$.
        Sie ist durch
        $$T_{\mathrm{eff}}=\frac{T_{\text{biologisch}}\cdot T_{\text{physikalisch}}}{T_{\text{biologisch}}+T_{\text{physikalisch}}}$$
        gegeben.

        Begr\"{u}nde, dass wir f\"{u}r unser Problem mit $T_{\text{eff}}\approx T_{\text{biologisch}}$ rechnen k\"{o}nnen.
  \item Im folgenden ist f\"{u}r einen Mann der zeitliche Verlauf der Aktivit\"{a}t des inkorporierten Wildschweins wiedergegeben.

        \def\f{0.5 x exp 5 mul}
        \begin{center}
           \begin{pspicture}(-1,-1)(12,6)
               \psaxes[labels=none]{->}(11.5,5.5)
               \psplot{0}{11.5}{\f}
               \rput(12,0){$t$ in d}
               \rput(0,5.8){$A(t)$ in kBq}
               \rput(-0.5,1){$1{,}0$}
               \rput(-0.5,5){$5{,}0$}
               \rput(1,-0.4){$110$}
               \rput(10,-0.4){$1100$}
           \end{pspicture}
        \end{center}

        Entnimm dem Diagramm, wie viele Zerf\"{a}lle \emph{ungef\"{a}hr} in der Zeit von 0 bis $110\,\mathrm{d}$ bzw. bis $1100\,\mathrm{d}$ stattfinden.
  \item Cs--137 ist ein $\beta^{-}$--Strahler. Der Qualit\"{a}tsfaktor von $\beta^{-}$--Teilchen ist $q=1$.
        Die maximale Energie dieser Teilchen ist $0{,}511\,\mathrm{MeV}$. Vereinfachend wollen wir annehmen, dass jedes der
        emittierten Elektronen diese maximale Energie hat. Wir wollen annehmen, dass ein Mann eine Masse von $75\,\mathrm{kg}$ und
        eine Frau von $60\,\mathrm{kg}$ hat.

        Berechne die \"{A}quivalentdosis f\"{u}r einen Mann w\"{a}hrend einer Dauer von zehn biologischen Halbwertszeiten
        ausgehend vom Zeitpunkt des Verzehrs des Wildschweinbratens.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item Physikalisch: $93\%$; Biologisch: $0{,}10\%$.
  \item $T_{\text{physikalisch}}\ll T_{\text{biologisch}}\quad\Rightarrow\quad T_{\text{physikalisch}}+T_{\text{biologisch}}\approx T_{\text{physikalisch}}\quad\Rightarrow$
  
        $T_{\mathrm{eff}}=\frac{T_{\text{biologisch}}\cdot T_{\text{physikalisch}}}{T_{\text{biologisch}}+T_{\text{physikalisch}}}\approx \frac{T_{\text{biologisch}}\cdot T_{\text{physikalisch}}}{T_{\text{physikalisch}}}=T_{\text{biologisch}}$
  \item Durch Summieren der Rechtecksfl\"{a}chinhalte aus
  
        \def\f{0.5 x exp 5 mul}
        \begin{center}
           \begin{pspicture}(-1,-1)(12,6)
               \psStep[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,10){10}{\f}
               \psStep[fillstyle=solid,fillcolor=blue,StepType=Riemann](0,10){10}{\f}
               \psaxes[labels=none]{->}(11.5,5.5)
               \psplot{0}{11.5}{\f}
               \rput(12,0){$t$ in d}
               \rput(0,5.8){$A(t)$ in kBq}
               \rput(-0.5,1){$1{,}0$}
               \rput(-0.5,5){$5{,}0$}
               \rput(1,-0.4){$110$}
               \rput(10,-0.4){$1100$}
           \end{pspicture}
        \end{center}
        
        kommt man auf $110\,\mathrm{d}$: $3{,}6\cdot10^{10}$; $1100\,\mathrm{d}$: $7{,}1\cdot10^{10}$
  \item $H=q\,\frac{E}{m}=1\cdot\frac{7{,}1\cdot10^{10}\cdot0{,}511\,\mathrm{MeV}}{75\,\mathrm{kg}}=0{,}078\,\mathrm{mSv}$
  
\end{enumerate}
}