\ANG{
\textbf{Das dritte Keplersche Gesetz}

\parbox[hb!]{0.45\linewidth}{
Zwischen der Umlaufzeit $T$ eines Planeten um ein Zentralgestirn, dessen elliptische Bahn eine gro\ss e Halbachse hat, deren L"ange mit $a$ bezeichnet wird, wird ein Zusammenhang der Gestalt
\[T^{m}=C\,a^{n}\]
vermutet. Dabei sind $m$ und $n$ nat"urliche Zahlen und $C$ ist eine beliebige Zahl. Dieser Zusammenhang stellt das dritte Keplersche Gesetz dar.
Um die Werte der Konstanten $m,n$ und $C$ zu ermitteln logarithmieren wir diese Gleichung:
\[\log T^{m}= \log\left(C\,a^{n}\right).\]
}\hspace{0.10\linewidth}
\parbox{0.45\linewidth}{
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|r|r|} \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Name & $T$ in d & $a$ in $10^5\,\mathrm{km}$ \\ \hline\hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Mimas & $0{,}940$ & $1{,}86$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Enceladus & $1{,}37$ & $2{,}38$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Tethys & $1{,}89$ & $2{,}95$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Dione & $2{,}74$ & $3{,}77$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Rhea & $4{,}52$ & $5{,}27$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Titan & $16{,}0$ & $12{,}2$ \\ \hline
\rule[-1mm]{0mm}{6mm}Iapetus & $79{,}3$ & $35{,}6$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Die sieben gr"o\ss ten Saturntrabanten
\vspace{1ex}
}
Mit den Rechengesetzen f"ur Logarithmen wird daraus
\[m\,\log T= n\,\log a + \log C.\]
Nun teilen wir die Gleichung durch $m$ und erhalten
\[\log T= \frac{n}{m}\,\log a + \frac{\log C}{m}.\]
Wir schreiben noch $y$ f"ur $\log T$, $x$ f"ur $\log a$, $s$ f"ur $\frac{n}{m}$ und $t$ f"ur $\frac{\log C}{m}$.
}
\begin{enumerate}
  \item Mit diesen Abk"urzungen erh"alt man einen bekannten funktionalen Zusammenhang in der Mathematik. Wie wird dieser genannt und welche Gestalt hat der zugeh"orige Graph in einem $x$--$y$--Koordinatensystem.
  \item Erstelle aus der Tabelle f"ur die sieben gr"o\ss ten Trabanten des Saturn ein
        $\log T$--$\log a$--Diagramm. Ermittle die Steigung und den $y$--Achsenabschnitt der sich ergebenden Kurve. Welche Werte ergeben sich f"ur $m$ und $n$?
  \item Im dritten Kepelerschen Gesetz ist die Konstante $C$ durch $\frac{4\,\pi^2}{\gamma\,M}$ gegeben.
        Dabei bezeichnet $\gamma=6{,}62\cdot10^{-11}\,\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^2}$ die Gravitationskonstante und $M$ die Masse des
        Zentralk"orpers, in unserm Fall also die des Saturn.
        Ermittle unter Verwendung des Ergebnisses aus der vorigen Teilaufgabe die Masse des Saturn.
\end{enumerate}
\LSG{
\begin{enumerate}
  \item Mit den Abk"urzungen gilt $y=s\,x+t$,  d.h. es liegt ein affiner Zusammenhang zwischen $x$ und $y$ vor.
        Der zugeh"orige Graph ist bekanntlich eine Gerade.
  \item 
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3.5,3.5)
\psaxes[Ox=7, Oy=4]{->}(3.25,3.25)
%\def\data{5.27 4.93 5.37 5.07 5.47 5.21 5.58 5.37 5.72 5.59 6.09 6.14 6.55 6.84}
%\listplot[plotstyle=dots]{\data}
%\listplot[plotstyle=LSM,linecolor=red]{\data}
\psdots[dotstyle=Bo](1.27,0.93)(1.37,1.07)(1.47,1.21)(1.58,1.37)(1.72,1.59)(2.09,2.13)(2.55,2.84)
\rput(3.6,0){$\log \dfrac{a}{\mathrm{m}}$}
\rput(0,3.5){$\log \dfrac{T}{\mathrm{s}}$}
\end{pspicture}
\end{center}
W"ahlen wir den ersten und letzten Punkt im Koordinatensystem um ein Steigungsdreieck zu zeichnen, so erhalt f"ur die Steigung
\[\frac{6{,}84-4{,}93}{6{,}55-5{,}27}=1{,}49\]
Man kann also vermuten, dass $\frac{n}{m}=1{,}5=\frac{3}{2}$ und somit $n=3$ und $m=2$ ist. Unter Verwendung der linearen Regression erh"alt man 
unter der Ber"ucksichtigung, dass man 3 geltende Ziffern hat wirklich $1{,}50$.
\end{enumerate}
}
