\ANG{
\begin{enumerate}
  \item Du wohnst in einem vierst\"{o}ckigen Haus, dessen Erdgeschoss sich auf 0 \"{u}. NN befindet. Berechne die Arbeit, die du ben\"{o}tigst um einen Kasten Limonade aus dem ersten in den vierten Stock zu tragen. Die Stockwerke haben jeweils eine H\"{o}he von $3{,}00\,\mathrm{m}$.
      
      \parbox[t]{0.3\linewidth}{
      Kennzeichne die von dir dabei verrichtete Arbeit in dem nebenstehenden Dia\-gramm. Dabei wird der Weg nach rechts und die von dir aufzuwendende Kraft nach oben aufgetragen.
      Welche geometrische Bedeutung hat die Arbeit in diesem Diagramm?
      }
      \parbox[t]{0.7\linewidth}{
      \begin{center}
      	\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.4cm}
      	\begin{pspicture}(-1,-2)(13,11.5)
      		%% Als Zeichenhilfe
      		\psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(12.5,10.75)
            \rput(0,11.75){$\frac{F}{\mathrm{N}}$}
            \rput(13,0){$\frac{x}{\mathrm{m}}$}
      	\end{pspicture}
      \end{center}
      }
  \item Nun tragen wir in Gedanken ein Kilogramm von der Erdoberfl\"{a}che in die ,,Unendlichkeit'' des Universums.

      \parbox[t]{0.25\linewidth}{
      In dem nebenstehenden Diagramm ist dabei die aufzuwendende Kraft in Abh\"{a}ngigkeit des Abstandes $r$ vom Erdmittelpunkt aufgetragen.
      Dabei ist der Abstand in Vielfachen vom Erdradius $R_{\text{E}}\approx6{,}4\cdot10^3\,\mathrm{kg}$ angegeben.
      }
      \parbox[t]{0.75\linewidth}{
      \begin{center}
      	\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
      	\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(8,11.5)
      		%% Als Zeichenhilfe
      		\psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(8,10.75)
            \rput(0,11.75){$\frac{F}{\mathrm{N}}$}
            \rput(8.4,0){$\frac{r}{R_{\text{E}}}$}
            \psplot{1}{7.5}{9.8 x x mul div}
      	\end{pspicture}
      \end{center}
      }
      
      Zur Berechnung der Arbeit, um unser Kilogramm von einem Punkt der Erdoberfl\"{a}che in eine ,,H\"{o}he'' von $R_{\text{E}}$ zu bringen, verwenden wir
      $\frac{1}{2}\cdot\left(9{,}8\,\mathrm{N}+\frac{1}{4}\cdot9{,}8\,\mathrm{N}\right)$ als Kompromiss f\"{u}r die in diesem Bereich von 
      $9{,}8\,\mathrm{N}$ auf $\frac{1}{4}\cdot9{,}8\,\mathrm{N}$ sinkende Kraft. Welche Arbeit ergibt sich daraus? Kennzeichne diese im obigen Diagramm.
      F\"{u}hre deine Berechnung bis zu $7\cdot R_{\text{E}}$ fort.
      
      \item Berechne aus dem Ergebnis der vorhergehenden Aufgabe die Geschwindigkeit, die wir unserem Kilogramm verleihen m\"{u}ssen, um es in die Tiefen des Universums zu bringen.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}

\begin{center}
	\psset{xunit=0.65cm,yunit=0.4cm}
	\begin{pspicture}(-1,-2)(13,11.5)
      \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(12,9.8)
      \rput(7.5,5){\small $W=20\,\mathrm{kg}\cdot9{,}8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot9{,}0\,\mathrm{m}=1{,}7\,\mathrm{kJ}$}
	  \psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(12.5,10.75)
      \rput(0,11.75){$\frac{F}{\mathrm{N}}$}
      \rput(13,0){$\frac{x}{\mathrm{m}}$}
	\end{pspicture}
\end{center}

Die zu verrichtende Arbeit hat die geometrische Bedeutung eines Fl\"{a}cheninhalts.

\item \mbox{}
\begin{center}
	\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
	\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8,11.5)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1,0)(2,6.215)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,1.77)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3,0)(4,0.85)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4,0)(5,0.5)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,0.33)
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6,0)(7,0.24)
	\psaxes[Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(8,10.75)
    \rput(0,11.75){$\frac{F}{\mathrm{N}}$}
    \rput(8.4,0){$\frac{r}{R_{\text{E}}}$}
    \psplot{1}{7.5}{9.8 x x mul div}
	\end{pspicture}
\end{center}

\[W=\frac{1}{2}\cdot\left(9{,}8\,\mathrm{N}+\frac{1}{4}\cdot9{,}8\,\mathrm{N}\right)\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m}=3{,}9\cdot10^7\,\mathrm{J}\]
\begin{align*}
    W_{\text{gesamt}}&=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{4}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m}
     + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m} \\
     &+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{9}+\frac{1}{16}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m} 
     + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{25}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m} \\
     &+ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{25}+\frac{1}{36}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m} 
     + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{36}+\frac{1}{49}\right)\,9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m} \\
     &= \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\frac{1}{98}\right)\cdot9{,}8\,\mathrm{N}\cdot6{,}4\cdot10^6\,\mathrm{m}
     =5{,}9\cdot10^7\,\mathrm{J}
\end{align*}

\item $\frac{1}{2}\cdot1\,\mathrm{kg}\cdot v_{\text{Flucht}} = W\quad\Rightarrow\quad v_{\text{Flucht}}=10{,}9\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$.

\end{enumerate}
}