\ANG{
\parbox[t]{0.35\linewidth}{
Nebenstehend ist das Sternbild Orion mit seinem hellsten Stern Antares oder $\alpha$ Scorpii, einem Roten "Uberriesen der Spektralklasse M1, abgebildet.

\begin{enumerate}
\item Antares ist mit einer scheinbaren Helligkeit von $1{,}09^{\text{mag}}$ der 16.-hellste Stern des Himmels und der hellste im Sternbild Skorpion. Seine Parallaxe wurde zu $\left(5{,}4\cdot10^{-3}\right)^{''}$ bestimmt. Wir gro\ss\ ist die Entferung von Antares von der Erde und welche absolute Helligkeit hat dieser rote "Uberriese?

\item Gib die Leuchtkraft von Antares in Vielfachen der Leuchtkraft der Sonne an, wenn bekannt ist, dass die scheinbare Helligkeit der Sonne $-26{,}74^{\text{mag}}$ ist.
\end{enumerate}
}\hspace{0.025\linewidth}
\parbox[t]{0.65\linewidth}{
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(11,11)
	\psline[linestyle=dashed, linecolor=red](1.6,0.4)(6,0.6)(6,1.6)(7.5,1.6)(7.8,5.2)(9.1,5)(9.5,7.9)(8.5,7.9)(8.7,10.4)(7,10.4)(6.9,6.8)(5,6.8)(5,5.2)(0.8,4.9)(1.6,0.4)
	\psline(2,2)(2.6,1.3)(4,1.4)(5,1.6)(5,2.9)(5.2,4)(6.05,5.8)(6.5,6.3)(7.05,6.5)(8.2,8.2)
	\psline(7.05,6.5)(8.5,7.3)
	\psline(7.05,6.5)(8.5,6.3)
	\psline(2.2,2.4)(2.6,3)
	\psdots(2,2)(2.6,1.3)(4,1.4)(5,1.6)(5,2.9)(5.2,4)(6.05,5.8)(6.5,6.3)(7.05,6.5)(8.2,8.2)(8.5,7.3)(8.5,6.3)(2.2,2.4)(2.6,3)
    \uput{0.2}[180]{0}(2,2){$\iota$}	
    \uput{0.2}[270]{0}(2.6,1.3){$\theta$}	
    \uput{0.2}[90]{0}(4,1.4){$\eta$}	
    \uput{0.2}[270]{0}(5,1.6){$\zeta$}	
    \uput{0.2}[0]{0}(5,2.9){$\mu$}	
    \uput{0.2}[180]{0}(5.2,4){$\varepsilon$}	
    \uput{0.2}[180]{0}(6.05,5.8){$\tau$}	
    \uput{0.15}[180]{0}(6.5,6.3){\footnotesize Antares}	
    
    \uput{0.2}[180]{0}(8.2,8.2){$\beta$}	
    \uput{0.2}[0]{0}(8.5,7.3){$\delta$}	
    \uput{0.2}[0]{0}(8.5,6.3){$\pi$}	
    
    \uput{0.2}[180]{0}(2.2,2.4){$\kappa$}	
    \uput{0.2}[90]{0}(2.6,3){$\lambda$}	
    \rput(6.5,4.5){Skorpion}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Antares bildet mit einem unauff"alligen Begleiter $\alpha$ Scorpii B, einem blauen Stern, ein Doppelsternsystem. Die beiden Komponenten dieses Doppelsternsystems umkreisen ihren gemeinsamen Schwerpunkt in 878 Jahren. F"ur die gro\ss en Halbachsen der Ellipsenbewegungen der von $\alpha$ Scorpii A und B gilt
\begin{align*}
a_{\text{A}}+a_{\text{B}}&=550\,\mathrm{AE}\\
\dfrac{a_{\text{A}}}{a_{\text{B}}}&=4{,}0\\
\end{align*}\\
\end{enumerate}
}
\LSG{
\[\dfrac{r}{1\,\mathrm{pc}}=\dfrac{1^{''}}{\left(5{,}4\cdot10^{-3}\right)^{''}}\quad\Rightarrow\quad r\approx185\,\mathrm{pc}\]

\[m - M = 5^{\text{mag}}\cdot\log_{10} \left(\frac{r}{10\,\mathrm{pc}}\right)\quad\Rightarrow\quad M=m-5^{\text{mag}}\cdot\log_{10} \left(\frac{r}{10\,\mathrm{pc}}\right)\approx-5{,}2^{\text{mag}}\]

Absolute Helligkeit der Sonne:

\[M=-26{,}74^{\text{mag}}-5^{\text{mag}}\cdot\log_{10} \left(\frac{4{,}85\cdot10^{-6}\,\mathrm{pc}}{10\,\mathrm{pc}}\right)\approx4{,}83^{\text{mag}}\]

\[L=2{,}512^{M_{\odot}-M}\cdot L_{\odot}=2{,}512^{4{,}83+5{,}2}\cdot L_{\odot}\approx 1\cdot10^4\,L_{\odot}\]

3. Kepler-Gesetz:

\[m_{\text{A}}+m_{\text{B}}=\dfrac{4\,\pi^2}{G}\cdot\dfrac{a^3}{T^2}\]

\[m_{\odot}=\dfrac{4\,\pi^2}{G}\cdot\dfrac{\left(1\,\mathrm{AE}\right)^3}{\left(1\,\mathrm{a}\right)^2}\]

\[m_{\text{A}}+m_{\text{B}}=\left(\dfrac{a}{1\,\mathrm{AE}}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{1\,\mathrm{a}}{T}\right)^2\cdot m_{\odot}=215\,m_{\odot}\]

Und damit 
\[m_{\text{A}}=172\,m_{\odot}, m_{\text{B}}=43\,m_{\odot}\]
}