%
\ANG
{
	In der Klasse~$5a$ ist ein neues Rechenzeichen, n"amlich das~\GF{$\heartsuit$} f"ur nat"urliche Zahlen erfunden worden.
	F"ur dieses Zeichen gilt die Rechenvorschrift
	\begin{center}
		$x\,\heartsuit\,y=x^2\;+x\cdot y$,
	\end{center}
	 wobei $x$ und $y$ Platzhalter f"ur nat"urliche Zahlen sind.\\
	Beispiel mit~~$x=8$ und $y=5$\,:\quad$8\,\heartsuit\,5=8^2\;+8\cdot 5=64\;+40=104$.
	\begin{enumerate}
	\item	Berechne:~$1\,\heartsuit\,4$, $1\,\heartsuit\,5$, $1\,\heartsuit\,6,~\ldots,\,1\,\heartsuit\,473\,589$\,!
	\item	Untersuche, ob f"ur das Rechenzeichen $\heartsuit$ das Kommutativgesetz gilt!
	\item	$7\,\heartsuit\,\square=126$\,!~~Welche Zahl geh"ort in das K"astchen?
	\item	Edwin hat etwas entdeckt:~\GF{$x\,\heartsuit\,x$ ergibt stets eine gerade Zahl!}\\
			Begr"unde, dass Edwin Recht hat!
	\item	F"ur welche Belegungen von $x$ und $y$ ergibt $x\,\heartsuit\,y$ stets eine ungerade Zahl?\\
			Begr"unde deine Antwort!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$1\,\heartsuit\,4=1^2\;+1\cdot 4=5$,\\
			$1\,\heartsuit\,5=1^2\;+1\cdot 5=6$,\\
			$1\,\heartsuit\,6=1^2\;+1\cdot 6=7$,~\ldots,\,
			$1\,\heartsuit\,473\,589=1^2\;+1\cdot 473\,589=473\,590$.
	\item 	Verwende ein Zahlenbeispiel:~~$8\,\heartsuit\,5=104$. (Siehe oben.)\\
			Aber:~~$5\,\heartsuit\,8=5^2+5\cdot8=65$.~~Das Kommutativgesetz gilt in diesem Fall nicht,\\
			also gilt es f"ur das Rechenzeichen $\heartsuit$ allgemein nicht.
	\item	$7\,\heartsuit\,\square=126$ bedeutet:~~$7^2\;+7\cdot\square=126\quad\Rightarrow\quad7\cdot\square=77\quad\Rightarrow\quad\square=11$.
	\item	$x\,\heartsuit\,x=x^2+x^2$.\\
			Rechts wird zweimal die gleiche Zahl addiert, egal, welche Belegung des Platzhalters $x$ du gerade w"ahlst.
			Wenn du aber zu einer Zahl die gleiche Zahl addierst, kommt stets eine gerade Zahl heraus.
	\item	\begin{tabular}[t]{r l}
				$x$ ist gerade:										&$\Rightarrow\quad x^2\;+xy$~~ist eine gerade Zahl.\\
				$x$ ist ungerade und $y$ ist ungerade: 				&$\Rightarrow\quad x^2\;+xy$~~ist eine gerade Zahl.\\
				$x$ ist {\bf ungerade} und $y$ ist {\bf gerade}:	&{\bf$\Rightarrow\quad x^2\;+xy$~~ist ungerade.}\\
			\end{tabular}
	\end{enumerate}
}
