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\ANG
{
Die Klasse 5c der Leonhard-Euler-Realschule bekommt von ihrem Mathematiklehrer, Herrn Lieret,
die folgende Aufgabe:\\
\GF{Schreibe eine zweiziffrige Zahl auf, in der keine Null vorkommt. Durch Vertauschen der beiden
Ziffern erh"altst du eine zweite Zahl, die \glq{}\,Spiegelzahl\,\grq{}. Addiere zur Zahl ihre
Spiegelzahl. Zerlege den Summenwert in Faktoren}.
\begin{enumerate}
\item Nach einer Weile bittet Herr Lieret Marie, Beate und Gregor, ihre Rechnungen an die Tafel zu
      schreiben, aber dabei nicht alles zu verraten.
      
      \begin{tabular}{l l c l}
      Marie schreibt:  & $74+\bigcirc$ & = & $11\cdot 11$\\
      Gregor und Beate haben zusammengearbeitet.\\                     
      Beate schreibt:  & $67+76$ & = & $13\cdot\square$\\                       
      Gregor schreibt: & $\blacksquare + \triangle$ & = & $187 = \square\cdot\heartsuit$                    
      \end{tabular}\\
          
      Berechne f"ur $\bigcirc$, $\square$, $\blacksquare$, $\triangle$ und $\heartsuit$ die
      entsprechenden Zahlen. Beachte dabei: Gleiche Zeichen bedeuten gleiche Zahlen.
\item Da ruft Max: \GF{Herr Lieret, der Summenwert hat immer den Teiler \ldots\, .} Die anderen
      best"atigen das auch f"ur ihre Rechnung. Welchen Teiler meint Max?
\item Ursula meldet sich: \GF{Der zweite Faktor neben der $11$ an der Tafel ist zwar immer anders,
      aber beim Addieren der \ldots\, kommt der zweite Faktor heraus. Was hat Ursula gemeint?}
\item
        \begin{itemize}
        \item Jede zweiziffrige Zahl l"asst sich in der Form $z\cdot 10+e\cdot 1$ schreiben, wobei
	      $z$ die Anzahl der Zehner und $e$ die Anzahl der Einer darstellt.\\
	      Beispiel: $37=3\cdot 10+7\cdot 1$; also ist hier $z=3$ und $e=7$.\\ 
	      Best"atige mit der Darstellung $z\cdot 10+e\cdot 1$ f"ur zweiziffige Zahlen,
	      dass die Aussagen von Max und Ursula f"ur alle m"oglichen L"osungen der
	      Aufgabe richtig sind.
	\item Was w"are, wenn Herr Lieret in seiner Aufgabe die Null bei der Bildung der
	      zweiziffrigen Zahlen zugelassen h"atte?
        \end{itemize}
\item 
        \begin{itemize}
        \item Herr Lieret will wissen, wer in der Klasse den gr"o"sten Summenwert erhalten hat. Lisa
	      ist es; sie hat $209$ herausbekommen. Doch Emil widerspricht: \GF{Das kann nicht
	      stimmen.} Wie kannst du Lisa "uberzeugen, dass Emil recht hat?
	\item Wie viele verschiedene Summenwerte gibt es "uberhaupt?
	\item Wie viele zweiziffrige Zahlen (ohne die Ziffer Null) ergeben zusammen mit ihrer
	      Spiegelzahl den Summenwert $143$?
        \end{itemize}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Marie:\\
      $74+\bigcirc =121\quad\Rightarrow\quad\bigcirc =47$ und tats"achlich: $74+47=121$.\\
      Beate:\\
      $67+76=143\quad\Rightarrow\quad 13\cdot\square=143\quad\Rightarrow\quad\square=11$.\\
      Gregor hat es am schwersten gemacht:\\
      Du wei"st schon: $\square=11$. Also ist $187 = 11\cdot\heartsuit$
      $\quad\Rightarrow\quad\heartsuit=17$.\\
      Jetzt muss also die Summe aus einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl $187$ ergeben.\\
      1. Versuch: $99+99=198$; das ist zuviel.\\
      2. Versuch: $98+89=187$ oder $89+98=187$; beides passt.\\
      Gregor hat zwei M"oglichkeiten offen gelassen:\\
      $\blacksquare = 8$ und $\triangle = 9$ oder $\blacksquare = 9$ und $\triangle = 8$.
\item Max meint den Teiler $11$.
\item Ursula meint: \GF{Beim Addieren der beiden Ziffern der zweistelligen Zahl kommt an der Tafel
      immer der zweite Faktor heraus.}
\item
        \begin{itemize}
        \item Zweiziffrige Zahl: $z\cdot 10+e\cdot 1$; ihre Spiegelzahl:
	      $e\cdot 10+z\cdot 1$\\
	      Summe: $z\cdot 10+e\cdot 1+ e\cdot 10+z\cdot 1$. In dieser Summe tauchen also $11$
	      Zehner und $11$ Einer auf. Also sind es $11\cdot\mathrm{(Zehner\,\,+\,\,Einer)}$.\\
	      F"ur die Summe aus der zweiziffrigen Zahl und ihrer Spiegelzahl ergibt sich also:
	      $11\cdot z+11\cdot e=11\cdot(z+e)$.\\
	      Max hat somit recht: Der Summenwert hat stets den Teiler $11$.\\
	      Die Summe $11\cdot z+11\cdot e=11\cdot(z+e)$ enth"alt also einerseits immer den Faktor
	      $11$, andererseits auch stets den Faktor $(z+e)$, der aber gerade die Ziffernsumme der
	      zweistelligen Zahl darstellt. Die Summe aus allen Ziffern einer Zahl hei"st
	      \GF{{\bf Quersumme}}.\\
	      Ursula hat auch recht: Die Quersumme aus der zweiziffrigen Zahl ist stets Teiler des
	      Summenwertes.
	\item Wenn Herr Lierte die Null zugelassen h"atte, dann w"aren Max und Ursula dennoch im
	      Recht. Probiere es an einigen Beispielen aus. Was w"are, wenn Du die \GF{zweiziffrige
	      Zahl} $00$ verwenden w"urdest?
        \end{itemize}
\item 
        \begin{itemize}
        \item $209:11=19$; insofern ist die Aussage von Max hier best"atigt. Nach der Aussage von
	      Ursula muss jedoch die Summe der beiden Ziffern von Lisas Zahl (von der sie dann
	      die Spiegelzahl erzeugt) den Wert $19$ besitzen. Die gr"o"ste Zffer ist die 9. Die
	      gr"o"ste zweistellige Zahl ist somit $99$, die mit ihrer Spiegelzahl identisch ist:\\
	      $9+9=18<19$. Also muss ich Lisa verrechnet haben und Emil hat recht.
	\item $99+99=198$; das ist der gr"o"ste Summenwert, der "uberhaupt auftauchen kann.\\
	      Alle m"oglichen Summenwerte besitzen den Teiler $11$ (angefangen von der Zahl $11$
	      selbst). Also gibt es $198:11=18$ verschiedene Summenwerte.
	\item $143:11=13$; gesucht sind alle zweiziffrigen Zahlen mit der Quersumme $13$:\\
	      Es kommen f"ur das Paar (Zahl $\mid$ Spiegelzahl) nur die Kombinationen
	      \begin{center}
	      $(49\mid 94); (58\mid 85); (67\mid 76); (76\mid 67); (85\mid 58); (94\mid 49)$
	      \end{center}
	      in Frage.
        \end{itemize}
\end{enumerate}
}

