%
\ANG
{
Das \GF{Querprodukt} einer nat"urlichen Zahl erh"altst du, wenn du alle Ziffern dieser
Zahl miteinander multiplizierst.\\
Beispiel: Die Zahl $5346$ hat das Querprodukt $5\cdot 3\cdot 4\cdot 6=360$.
\begin{enumerate}
\item Gib eine zehnstellige Zahl an, deren Querprodukt den Wert 1 besitzt. Ist das
      die einzig m"ogliche Zahl? Begr"unde.
\item Gib alle dreistelligen Zahlen an, deren Querprodukt den Wert 4 hat.
\item Wie viele dreistellige Zahlen mit dem Querproduktwert 0 gibt es?
\item Gibt es eine nat"urliche Zahl, deren Querprodukt durch 11 ohne Rest teilbar
      ist? Begr"unde.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Zahl hei"st $1\,111\,111\,111$.\\
      G"abe es eine weitere Zahl mit dem Produktwert 1, dann m"usste mindestens eine
      Ziffer von 1 verschieden sein. Dann w"are der Produktwert entweder 0 oder
      gr"o"ser als 1. Also ist dies die einzige M"oglichkeit.
\item Es gen"ugen zwei Darstellungen der Zahl vier als Produkt:\\
      $4=4\cdot 1$ und $4=2\cdot 2$. Um daraus eine dreistellige nat"urliche Zahl zu
      erzeugen, muss jeweils mit dem Faktor 1 aufgef"ullt und das Kommutativgesetz
      angewendet werden:
      \begin{center}
            \begin{tabular}{c c c c c c}
                           $411$ & $141$ & $114$ & und\\
                           $221$ & $212$ & $122$ &
            \end{tabular}
      \end{center}
\item Es gilt: Hat in einem Produkt mindestens ein Faktor den Wert 0,
      dann hat das Produkt den Wert 0.\\
      Die Frage nach der Anzahl der dreistelligen nat"urlichen Zahlen mit dem
      Querproduktwert 0 ist gleichbedeutend mit der Frage nach der Anzahl
      dreistelliger Zahlen, die mindestens eine 0 (nicht an der ersten Stelle)
      enthalten.\\
      Wir probieren es zun"achst im Bereich von $100$ bis $199$:\\

      \begin{tabular}{c c c c c r}
      \hline
      $100$ & $101$ & $102$ & $\ldots$ & $110$ & zusammen $11$ Zahlen\\
      $120$ & $130$ & $140$ & $\ldots$ & $190$ & zusammen $8$ Zahlen\\
      \hline
            &       &       &          &       & zusammen $19$ Zahlen
      \end{tabular}\\
      
      Dieselben "Uberlegungen gelten auch im Bereich von $200$ bis $299$: Auch hier
      sind es wieder 19 solche Zahlen, die mindestens eine 0 enthalten.\\
      Diese "Uberlegungen lassen sich bis in den Berecih von $900$ bis $999$
      fortsetzen. Also sind es zusammen 9 solche Bereiche mit je $19$ Zahlen. Damit
      sind es $19\cdot 9= 171$ solche Zahlen, die mindestens eine 0 enthalten.
\item Weil $11$ eine Primzahl ist, m"usste das Querprodukt diese Zahl als Faktor
      enthalten; d.h. es m"usste eine zweistellige Ziffer $11$ geben. Weil das aber
      nicht der Fall ist, musst du die gestellte Frage verneinen.
\end{enumerate}
}
