%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=6cm]{05eh093}
      \end{center}
Erika und Paul sollen einen Zahlengiganten, der ausschlie"slich aus $2007$ Einsen besteht,
durch 9 teilen.
\begin{enumerate}
\item Paul behauptet: \GF{Bei dieser Division bleibt der Rest 1.} Begr"unde dass Paul nicht Recht hat.
\item Paul und Erika gehen bei der Division dieses Zahlengiganten systematisch vor:
      Sie rechnen zun"achst $111\,111\,111\,:\,9$.\\
      Dann rechnen sie $111\,111\,111\,111\,111\,111\,:\,9$ usw.\\
      Berechne jeweils den Wert des Quotienten.
\item Begr"unde: Der Wert des Quotienten aus der obigen Riesenzahl und 9 enth"alt nicht die Ziffer 8.
\item Wie oft ist die \GF{Sieben} im Wert des Quotienten enthalten? Begr"unde deine Antwort.
\item Wie oft ist die \GF{Null} im Wert des Quotienten enthalten? Begr"unde deine Antwort.
\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
\begin{enumerate}
\item Ist die Quersumme einer nat"urlichen Zahl durch 9 teilbar, dann ist diese Zahl selbst durch 9
      teilbar. Die Quersumme des Zahlengiganten betr"agt $2007\cdot 1=2007$ und $2+0+0+7=9$. Also ist
      der Zahlengigant ohne Rest durch 9 teilbar. Paul hat nicht Recht.
\item $111\,111\,111\,:\,9=12\,345\,679$\\
      $\underbrace{111\,111\,111}\,\underbrace{111\,111\,111}\,:\,9=
      \underbrace{12\,345\,679}\,\underbrace{012\,345\,679}$.\\
\item In der L"osung (b) erkennst du, dass das erste Neunerb"undel aus Einsen die Ziffernfolge
      $12\,345\,679$ als Quotientenwert ergibt.\\
      In der n"achste Rechnung haben Paul und Erika zwei Neunerb"undel aus Einsen geschn"urt.\\
      Wieder taucht im Ergebnis zun"achst $12\,345\,679$ und darauf folgend  dieselbe Ziffernfolge mit
      einer vorangestellten Null auf.\\
      $2007$ Einsen lassen sich zu $2007:9=223$ solcher B"undel aus jeweils 9 Einsen schn"uren.\\
      Jedes B"undel aus 9 Einsen (bis auf das erste) ergibt bei der Division durch 9 immer die gleiche
      Ziffernfolge, n"amlich $012\,345\,679$; d.h. die Ziffer 8 kommt niemals vor.
\item Weil die Ziffernfolge $12\,345\,679$ genau $223$-mal erscheint, ist die 7 im Wert des
      Quotienten auch genau $223$-mal vorhanden.
\item Weil eine vorangestelle Null bei jeder nat"urlichen Zahl f"ur deren Wert bedeutungslos ist,
      taucht die Null im Wert des Quotienten genau $222$-mal auf.
\end{enumerate}
}
