
%
\ANG
{
Christian GOLDBACH (1690-1764) war Mathematiklehrer. Am 7. Juni 1742 schrieb er einen Brief an
den ber"uhmten Mathematiker Leonhard EULER (1707-1783). Da\-rin steht eine Behauptung, die heute
als die {\bf Goldbachsche Vermutung} bekannt ist. Sie lautet:\\
{\bf Jede gerade nat"urliche Zahl, die gr"o"ser als 3 ist, l"asst sich als Summe zweier
Primzahlen darstellen.}
\begin{enumerate}
\item Zeige am Beispiel der Zahl 10, dass diese als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden
      kann.
\item Weshalb stehen in der Goldbachschen Vermutung die Worte: \GF{\ldots , die gr"o"ser als
      drei ist, \ldots}?
\item Zeige, dass die Zahl 18 auf verschiedene Weise als Summe zweier Primzahlen dargestellt
      werden kann.
\item Gib alle M"oglichkeiten an, wie sich die Zahl 40 als Summe zweier Primzahlen darstellen
      l"asst.
\item In der Goldbachschen Vermutung sind ungerade nat"urliche Zahlen ausgenommen. Finde unter
      den ungeraden na"urlichen Zahlen, die kleiner als 30 sind, alle diejenigen, die sich
      nicht als Summe zweier Primzahlen darstellen lassen.
\item Der Mathematiker J"org Richstein vom Institut f"ur Informatik der Universit"at Gie"sen hat
      im Jahre 1998 mit Hilfe eines Rechenprogrammes am Computer alle geraden Zahlen bis 400
      Billionen untersucht. Bei jeder einzelnen geraden Zahl hat sich die Goldbachsche
      Vermutung dabei als richtig herausgestellt.\\
      Der britische Verlag \GF{Faber and Faber} hat demjenigen ein Preisgeld von einer Million
      Dollar versprochen, der die Goldbachsche Vermutung entweder beweisen oder widerlegen kann.
      Eigentlich d"urfte doch Herr Richstein dann eine Million Dollar kassieren. Oder?
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
      \item $10=7+3$.
      \item Es gibt nur eine gerade Zahl, die nicht gr"o"ser als 3 ist, n"amlich 2. Diese Zahl
            l"asst sich aber nur mit $1+1$ als Summe darstellen. Die Zahl 1 geh"ort jedoch nicht
	    zu den Primzahlen.
      \item $18=13+5$ und $18=11+7$.
      \item Eine L"osungsm"oglichkeit besteht darin, von 40 nach und nach alle Primzahlen, die
            kleiner als 40 sind, zu subtrahieren und dann zu "uberpr"ufen, ob der Wert der
	    jeweiligen Differenz eine Primzahl ist:\\
	    
	    \begin{tabular}{l l l}
	    $40-2=38 \notin \PP$ & \fbox{$40-3=37 \in \PP$} & $40-5=35 \notin \PP$\\
	    $40-7=33 \notin \PP$ & \fbox{$40-11=29 \in \PP$} & $40-13=27 \notin \PP$\\
	    \fbox{$40-17=23 \in \PP$} & $40-19=21\notin \PP$ & Fertig.
	    \end{tabular}
      \item Die Darstellung einer ungeraden Zahl als Summe zweier nat"urlicher Zahlen ist
            nur m"oglich, wenn ein Summand gerade, der andere aber ungerade ist. Wenn die beiden
	    Summanden Primzahlen sein sollen, dann muss einer der Summanden 2 sein, denn 2 ist die
	    einzige gerade Primzahl. Beginne mit der Zahl 29, usw:\\
	    	    	    
	    \begin{tabular}{l l l}
	    \fbox{$29-2=27 \notin \PP$} & \fbox{$27-2=25\notin \PP$} & $25-2=23 \in \PP$\\
	    \fbox{$23-2=21 \notin \PP$} & $21-2=19 \in \PP$          & $19-2=17 \in \PP$\\
	    \fbox{$17-2=15 \notin \PP$} & $15-2=13 \in \PP$          & \fbox{$11-2=9\notin \PP$}\\
	    $9-2=7 \in \PP$             & $7-2=5 \in \PP$            & $5-2=3 \in \PP$\\
	    Fertig. & &
	    \end{tabular}
      \item Ein Computer mag noch so viele Zahlen durchprobieren, es bleiben immer noch unendlich
            viele Zahlen "ubrig, wo man noch nicht wei"s, ob sich in diesen F"allen die Goldbachsche
	    Vermutung als richtig oder falsch herausstellt.\\
	    Herr Richstein geht also zu Recht leer aus.
\end{enumerate}
}

