%
\ANG
{
	Unter der Quersumme $QS$ einer nat"urlichen Zahl versteht man den Wert der Summe aus ihren Ziffern.\\
	Beispiel: $QS\,(409)=4+0+9=13$\,.
	\begin{enumerate}
	\item	Notiere alle nat"urlichen Zahlen zwischen 9 und $45$, die durch ihre Quersumme teilbar sind!
	\item	Emil betrachtet das Ergebnis und meint:
			\GF{Alle diese Zahlen sind durch $3$ oder $10$ teilbar.
			Das gilt bestimmt auch f"ur alle weitere solche Zahlen bis $100$.}\\
			Begr"unde, dass Emil Recht hat!
	\item 
		\begin{itemize}
		\item	Welche dreistelligen nat"urlichen Zahlen mit der Quersumme $4$ sind durch $4$ teilbar?
		\item	Welche dreistelligen nat"urlichen Zahlen mit der Quersumme $7$ sind durch $7$ teilbar?
		\item	Welche vierstelligen nat"urlichen Zahlen mit der Quersumme $25$ sind durch $25$ teilbar?
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$\{10; 12; 18; 20; 21; 24; 30; 36; 40; 42\}$\,.
	\item	Es kommen nur Zahlen mit $QS\in\,\{1; 2; 4; 5; 7; 8; 11; 13; 14; 16; 17\}$ in Frage.\\
			$QS=1$ liefert $\{10; {\bf 100}\}$\,. 100 ist Zehnervielfaches.\\
			$QS=2$ liefert $\{11; 20\}$\,. Kein Widerspruch.\\
			$QS=4$ liefert $\{13; 22; 31; 40\}$\,. Keine Widerspruch.\\
			$QS=5$ liefert $\{14; 23; 32; 41; {\bf 50}\}$\,. 50 ist Zehnervielfaches.\\
			$QS=7$ liefert $\{16; 25; 34; 43; 52; 61; {\bf 70}\}$\,. 70 ist Zehnervielfaches.\\
			$QS=8$ liefert $\{17; 26; 35; 44; 53; 62; 71; {\bf 80}\}$\,. 80 ist Zehnervielfaches.\\
			$QS=11$ liefert $\{29; 38; 47; 56; 65; 74; 83; 92\}$\,. Keine solche Zahl!\\
			$QS=13$ liefert $\{49; 58; 67; 76; 85; 94\}$\,. Keine solche Zahl!.\\
			$QS=14$ liefert $\{59; 68; 77; 86; 95\}$\,. Keine solche Zahl!\\
			$QS=16$ liefert $\{79; 88; 97\}$\,. Keine solche Zahl!\\
			$QS=17$ liefert $\{89; 98\}$\,. Keine solche Zahl!
	\item 
		\begin{itemize}
		\item	Auf jeden Fall geh"ort $400$ mit der $QS=4+0+0=4$ dazu.\\
				Nun ist $4=1+1+2$\,. Also: $112:4=28$: Daher ist $112$ eine L"osung.\\
				Alle anderen dreistelligen Zahlen, die sich aus den Ziffern 1 und 2 zusammen\-setzen,
				sind ungerade und damit nicht durch 4 teilbar.\\
				Weiter ist $4=2+2$. Das ergibt $202$ (nicht durch 4 teilbar) und $220:4=55$\,.
				Daher ist $220$ eine weitere der gesuchten Zahlen, andere gibt es nicht. 
		\item 	Wieder ist $700$ mit der $QS=7+0+0=7$ eine der gesuchten Zahlen.\\
				\\
				1. Fall: $7=1+0+6$ ergibt $\{106; 160; 610; 601\}$\,.\\
				$106:7=15$ Rest 2.\\
				$160:7=22$ Rest 6.\\
				$610:7=87$ Rest 1.\\
				$601:7=85$ Rest 6.\\
				\\
				2. Fall: $7=2+0+5$ ergibt $\{205; 250; 502; 520\}$\,.\\
				$205:7=29$ Rest 2.\\
				$250:7=35$ Rest 5.\\
				$502:7=71$ Rest 5.\\
				$520:7=74$ Rest 2.\\
				\\
				3. Fall: $7=3+0+4$ ergibt $\{304; 340; 403; 430\}$\,.\\
				$304:7=43$ Rest 3.\\
				$340:7=48$ Rest 4.\\
				$403:7=57$ Rest 4.\\
				$430:7=61$ Rest 3.\\
				\\
				4. Fall: $7=1+1+5$ ergibt $\{115; 151; 511\}$\,.\\
				$115:7=16$ Rest 4.\\
				$151:7=21$ Rest 4.\\
				$511:7=73$ Rest 0. Also ist $511$ eine der gesuchten Zahlen.\\
				\\
				5. Fall: $7=1+2+4$ ergibt $\{124; 142; 214; 241; 412; 421\}$\,.\\
				$124:7=17$ Rest 5.\\
				$142:7=20$ Rest 2.\\
				$214:7=30$ Rest 4.\\
				$241:7=34$ Rest 3.\\
				$412:7=58$ Rest 6.\\
				$421:7=60$ Rest 1.\\
				\\
				6. Fall: $7=1+3+3$ ergibt $\{133; 313; 331\}$\,.\\
				$133:7=19$ Rest 0. Also ist $133$ eine der gesuchten Zahlen.\\
				$313:7=44$ Rest 5.\\
				$331:7=47$ Rest 2.\\
				\\
				7. Fall: $7=2+2+3$ ergibt $\{223; 232; 322\}$\,.\\
				$223:7=31$ Rest 6.\\
				$232:7=33$ Rest 1.\\
				$322:7=46$ Rest 0. Also ist $322$ eine der gesuchten Zahlen.\\
				\\
				Also kommen nur die Zahlen $133$, $322$, $511$ und $700$ in Frage.
		\item	Eine nat"urliche Zahl ist durch $25$ teilbar, wenn sie auf das Ziffernpaar $\ldots\,00$ oder $\ldots\,25$ oder $\ldots\,50$ oder $\ldots\,75$  endet.\\
				\\
				1. und 3. Fall: Die Zahl endet auf $\,\ldots\,00$\, oder auf $\,\ldots\,50$\,.\\
				Dann m"usste die Summe der zwei vorderen Ziffern den Wert $25$ oder $20$ ergeben. Das ist jeweils nicht m"oglich.\\
				\\
				2. Fall: Die Zahl endet auf $\,\ldots\,25$\,.\\
				Dann muss die Summe der zwei vorderen Ziffern den Wert $18$ ergeben. Das ergibt $9925$ als einzige Zahl:
				$9+9+2+5=25$\,.\\
				\\
				4. Fall: Die Zahl endet auf $\,\ldots\,75$\,.\\
				Dann muss die Summe der zwei vorderen Ziffern den Wert $13$ ergeben. Das ergibt die folgenden M"oglichkeiten:
				$9475$ , $4975$, $8575$, $5875$, $6775$ und $7675$\,.\\
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
}













