%
\ANG
{
	{\scriptsize Idee: 15.~F"urther Mathematik-Olympiade, Klassenstufe~7, 1.~Runde, Aufgabe~1:}\\\\
	Fertige dir, z.\,B. aus Trinkhalmen, neun unterschiedlich lange St"abchen mit den L"angen $1\,cm$, $2\,cm$, $\ldots$ und $9\,cm$\, an!
	Versuche dann, mit ihnen Quadrate zu legen, ohne ein St"abchen zu zerst"oren!
	\begin{enumerate}
	\item	Begr"unde! Alle neun St"abchen zusammen liefern kein Quadrat.
	\item	Willy legt ein Quadrat, das an jeder Seite zwei St"abchen enth"alt.
			Maria hat ihm zugeschaut. Sie meint: \GF{Ich habe noch eine weitere M"oglichkeit entdeckt.}\\
			Gib alle M"oglichkeiten an!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Die L"ange der neun aneinandergereihten St"abchen ergibt $45\,cm$ und ist somit der Umfang des gesuchten Quadrates.
			Dieser ergibt sich aus dem 4-fachen der Quadratseitenl"ange (Qsl.). Weil sich die Trinkhalm-Seitenl"angenma"szahl jedes
			Quadrates aus nat"urlichen Zahlen zusammensetzt, muss diese in jedem Fall auch eine nat"urliche Zahl sein.
			Aber die gesuchte Quadratseitenl"ange mit $112{,}5\,mm=450\,mm : 4$ hat keine nat"urliche Ma"szahl.\\
	\item	Nachdem alle St"abchen sich nicht zu einem Quadrat legen lassen, musst du also eines weglassen.
			Dann sind noch acht St"abchen "ubrig. Damit die Umfangsma"szahl gerade wird, muss das weggelassene St"abchen eine ungerade
			L"angenma"szahl besitzen. Dann bleiben zum Aufbau von jeder Quadratseite jeweils zwei St"abchen "ubrig:
			\begin{center}
				\begin{tabular}{r l l l l}
							& {\scriptsize 1.~Qsl. in $cm$}	& {\scriptsize 2.~Qsl. in $cm$}	& {\scriptsize 3.~Qsl. in $cm$}	& {\scriptsize 4. Qsl. in $cm$}\\
				1. M"ogl. {\scriptsize ${9\,cm-\mathrm{St"abchen}\choose\mathrm{weggelassen}}$}
							& $8+1=9$						& $7+2=9$						& $6+3=9$						& $5+4=9$\\
				2. M"ogl. {\scriptsize ${5\,cm-\mathrm{St"abchen}\choose\mathrm{weggelassen}}$}
							& $9+1=10$						& $8+2=10$						& $7+3=10$						& $6+4=10$\\
				3. M"ogl. {\scriptsize ${1\,cm-\mathrm{St"abchen}\choose\mathrm{weggelassen}}$}
							& $9+2=11$						& $8+3=11$						& $7+4=11$						& $6+5=11$\\\\
				\end{tabular}
			\end{center}
			Das sind alle M"oglichkeiten.
	\end{enumerate}
}
