
%
\ANG
{\mbox{}
    \begin{center}
		\includegraphics{05eh039_a.1}
    \end{center}
	Gegeben sind die Punkte $A(2\mid 1)$, $B(10\mid 1)$, $C(10\mid 9)$ und $D(2\mid 9)$.
	\begin{enumerate}
	\item
	\begin{itemize}
		\item	Zeichne das Viereck~$ABCD$ in das Koordinatensystem! Zeichne seine Diagonalen $\overline{AC}$ und
				$\overline{BD}$ ein! Zeichne den Diagonalenschnittpunkt $Z$ ein!
		\item	Um welches besondere Viereck handelt es sich hier? Begr"unde!
    \end{itemize}
	\item	Die Mittelpunkte der Seiten $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$ und $\overline{DA}$ sind in dieser Reihenfolge
			die Punkte $M_1$, $M_2$, $M_3$ und $M_4$.
	\begin{itemize}
		\item	Zeichne diese Seitenmittelpunkte $M_1$, $M_2$, $M_3$ und $M_4$ ein!
		\item	Gib die Koordinaten von $M_1$ an!\\
				Welche besondere Lage besitzen die Punkte $A$, $M_1$ und $B$ im Koordinatensystem?\\
				Welche Gemeinsamkeiten weisen die Koordinaten dieser drei Punkte auf?\\
				Notiere, wie du den $x$-Wert des Mittelpunktes $M_1$ aus den beiden $x$-Werten
				der Punkte $A$ und $B$ berechnen kannst! 
		\item	Gib die Koordinaten von $M_2$ an!\\
				Welche besondere Lage besitzen die Punkte $B$, $M_2$ und $C$ im Koordinatensystem?\\
				Welche Gemeinsamkeiten weisen die Koordinaten dieser drei Punkte auf?\\
				Notiere, wie du den $y$-Wert des Mittelpunktes $M_2$ aus den beiden $y$-Werten
				der Punkte $B$ und $C$ berechnen kannst! 
    \end{itemize}
	\item 
    \begin{itemize}
		\item	Zeichne das Viereck~$M_1M_2M_3M_4$ ein! Um welches besondere Viereck handelt es sich?\\
				Verbinde die Seitenmittelpunkte des Vierecks~$M_1M_2M_3M_4$ zu einem neuen
				Viereck~$EFGH$, wobei der Punkt $E$ links unten liegen soll!
				Was f"ur ein besonderes Viereck ist das?\\
				Notiere, wie du die Koordinaten des Mittelpunktes $E$ aus den Koordinaten der
				Punkte $M_1$ und $M_4$ berechnen kannst!
		\item	Durch seine Diagonalen wird das Viereck $EFGH$ in vier gleiche Dreiecke zerlegt.
				Vergleiche den Fl"acheninhalt dieses Vierecks mit dem der Vierecke $M_1M_2M_3M_4$ und $ABCD$.
    \end{itemize}
	\item 
    \begin{itemize}
		\item	In das Viereck~$EFGH$ kannst du wieder ein Seitenmittenviereck einzeichnen, und
				in dieses wieder ein Seitenmittenviereck usw.\\
				Zeichne auf diese Weise f"unf weitere Seitenmittenvierecke ein! Welcher
				Zusammenhang besteht zwischen den Fl"acheninhalten zweier unmittelbar aufeinander
				folgender Seitenmittenvierecke?
		\item	Wie viele Seitenmittenvierecke k"onntest du theoretisch noch einzeichnen? Wo endet das Ganze?
    \end{itemize}
	\item 
    \begin{itemize}
		\item	Nimm eine neue karierte Heftseite quer! Zeichne das Quadrat $ABCD$ mit den 
				mittlerweile sieben Seitenmittenvierecken in seinem Inneren ohne
				Koordinatenachsen doppelt nebeneinander!\\
				Zeichne die Strecken $\overline{M_1M_3}$ und $\overline{M_2M_4}$ gestrichelt in beide Quadrate ein!\\
				Schneide das linke Quadrat $ABCD$ aus!
		\item	Au"serhalb des Seitenmittenvierecks $M_1M_2M_3M_4$ bleiben im Inneren des Quadrates~$ABCD$ vier gleiche Dreiecke "ubrig.
				Male diese vier Dreiecke in der beiden Figuren gr"un aus!\\
				Schneide vom ausgeschnittenen Quadrat diese vier Dreiecke ab!\\
				Zeige am rechten Quadrat $ABCD$: Diese vier Dreiecke lassen sich zum
				Seitenmittenviereck~$M_1M_2M_3M_4$ zusammenf"ugen!
		\item	Au"serhalb des Seitenmittenvierecks $EFGH$ bleiben im Inneren des
				Seitenmittenvierecks~$M_1M_2M_3M_4$ vier gleiche Dreiecke "ubrig.
				Male diese vier Dreiecke in beiden Figuren orange aus!\\
				Schneide von der ausgeschnittenen Restfigur diese vier Dreiecke ab!\\
				Zeige am rechten Quadrat~$ABCD$: Diese vier Dreiecke lassen sich zum
				Seitenmittenviereck~$EFGH$ zusammenf"ugen!
		\item	Au"serhalb des n"achsten Seitenmittenvierecks bleiben im Inneren des
				Seitenmittenvierecks~$EFGH$ vier gleiche Dreiecke "ubrig.
				Male diese vier Dreiecke in beiden Figuren blau aus!\\
				Schneide von der ausgeschnittenen Restfigur diese vier Dreiecke ab!\\
				Zeige am rechten Quadrat $ABCD$: Diese vier Dreiecke lassen sich zu diesem
				n"achsten Seitenmittenviereck zusammenf"ugen!
		\item	Du kannst dir schon denken, wie es weitergeht: F"arbe in der Reihenfolge gr"un-orange-blau
				immer wieder die folgenden vier gleichen Dreiecke ein, schneide sie
				aus und vergleiche ihren Fl"acheninhalt mit dem entsprechenden
				Seitenmittenviereck in der rechten Zeichnung!\\
				Nenne zwei Gr"unde, weshalb du mit deiner Schere diese Vorgehensweise nicht
				beliebig weit fortsetzen kannst!\\
				Bliebe etwas von der Restfigur "ubrig, wenn du dieses Verfahren \GF{bis zum Ende hin} fortsetzen k"onntest?\\
				W"urde im Quadrat $ABCD$ rechts eine wei"se Fl"ache "ubrig bleiben, wenn du dieses
				Verfahren \GF{bis zum Ende hin} fortsetzen k"onntest?
		\item	Begr"unde: Die Summe der Fl"acheninhalte aller m"oglichen Seitenmittenvierecke
				ergibt $64\,cm^2$!
    \end{itemize}
\end{enumerate}
}
\LSG
{\mbox{}
	\begin{enumerate}
	\item\mbox{}
		\begin{center}
			\includegraphics{05eh039_l1.1}
		\end{center}
		\begin{itemize}
		\item	Es handelt sich um ein Quadrat. Alle vier Seiten sind $8\,cm$ lang und
				alle Innenwinkel haben das Ma"s~$90^\circ$.
		\end{itemize}
	\item 
		\begin{itemize}
		\item	Siehe Zeichnung.
		\item	$M_1(6\mid 1)$.\\
				Die Punkte $A$, $M_1$ und $B$ liegen auf einer Parallelen zur $x$-Achse mit $1\,cm$ Abstand.\\
				Alle drei Punkte haben den $y$-Wert 1.\\
				Addiere die $x$-Werte von $A$ und $B$! Halbiere diesen Summenwert! $(2+10):2=12:2=6$.
		\item	$M_2(10\mid 5)$.\\
				Die Punkte $B$, $M_2$ und $C$ liegen auf einer Parallelen zur $y$-Achse mit $10\,cm$ Abstand.\\
				Alle drei Punkte haben den $x$-Wert $10$.\\
				Addiere die $y$-Werte von $B$ und $C$! Halbiere diesen Summenwert! $(1+9):2=10:2=5$.
    \end{itemize}
	\item 
    \begin{itemize}
		\item	Siehe Zeichnung. Die Vierecke~$M_1M_2M_3M_4$ und $EFGH$ sind Quadrate.\\
				Der $x$-Wert des Punktes~$E$ ist die H"alfte der Summe aus den $x$-Werten der Punkte~$M_1$ und $M_4$.
				Der $y$-Wert des Punktes~$E$ ist die H"alfte der Summe aus den $y$-Werten der Punkte~$M_1$ und $M_4$:\\
				$E((6+2):2\mid (1+5):2)=(4\mid 3)$.
		\item	In das Viereck~$EFGH$ passen 4 gleiche Dreiecke. Das Viereck~$M_1M_2M_3M_4$ setzt sich aus 8 solchen Dreiecken zusammen.
				Also ist der Fl"acheninhalt des Vierecks~$M_1M_2M_3M_4$ doppelt so gro"s wie der des Vierecks~$EFGH$.\\
				In das Viereck~$ABCD$ passen 16 solche Dreiecke. 
				Also ist der Fl"acheninhalt des Vierecks~$ABCD$ doppelt so gro"s wie der des Vierecks~$M_1M_2M_3M_4$
				und viermal so gro"s wie der Fl"acheninhalt des Vierecks~$EFGH$.
    \end{itemize}
	\item
    \begin{itemize}
		\item\mbox{}
				\begin{center}
					\includegraphics{05eh039_l2.1}
				\end{center}
				Ein Seitenviereck ist stets halb so gro"s wie das vorhergehende.
		\item	Du k"onntest theoretisch noch unendlich viele Seitenmittenvierecke einzeichnen.
				Das Ganze endet im Punkt $Z$.
    \end{itemize}
	\item 
    \begin{itemize}     
		\item	Dein Endprodukt m"usste so aussehen:
				\begin{center}
                    \includegraphics{05eh039_l3.1}
				\end{center}
        \item	Siehe oben.
		\item	Die vier gr"unen Dreiecke sind mit den vier Dreiecken, die im Inneren des Quadrates~$M_1M_2M_3M_4$
				durch die Strecken $\overline{M_1M_3}$ und $\overline{M_2M_4}$ entstehen, gleich.
		\item	Wie vorher gilt: Die vier orangenen Dreiecke sind mit den vier Dreiecken,
				die im Inneren des Quadrates~$EFGH$ durch die Strecken $\overline{M_1M_3}$ und $\overline{M_2M_4}$ 
				entstehen, gleich.
		\item	Wieder kannst du auf die gleiche Weise die Fl"achengleichheit zeigen.
		\item	1.~Grund: Du kannst keine beliebig kleinen Dreiecke ausschneiden.\\
				2.~Grund: Es w"aren unendlich viele Dreiecke auszuschneiden. Das kann kein Mensch bew"altigen.\\
				Angenommen, es w"urde eine \GF{wei"se Fl"ache} "ubrig bleiben. Dann muss diese
				Fl"ache aber ein winziges Quadrat sein, dessen Ecken du (wenigstens theoretisch)
				erneut abschneiden k"onntest, so dass ein noch winzigeres Quadrat als
				\GF{wei"sen Fl"ache} "ubrig bleibt. Dann k"onntest du von diesem noch winzigerem
				Quadrat wieder seine Ecken $\ldots$ Du merkst, es bleibt am Ende (wann immer das
				auch sein mag) nichts Wei"ses "ubrig.
		\item	Mit allen m"oglichen Dreiecken zusammen l"asst sich das Quadrat~$ABCD$ l"uckenlos
				bedecken. Nun stammen ja jeweils vier dieser Dreiecke von einem der Seitenmittenvierecke.
				Also ergibt der Fl"acheninhalt aller Seitenmittenvierecke den Fl"acheninhalt des Quadrates~$ABCD$
				und der ist $8\,cm\cdot\,8\,{cm}=64\,cm^2$ gro"s.
    \end{itemize}
\end{enumerate}
}

