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\ANG
{	Im Mathematik-Unterricht sollen von den Br"uchen~$\tfrac{1}{17}, \tfrac{1}{19}$ und $\tfrac{1}{23}$
	die Periodenl"angen der zuge\-h"origen Dezimalzahlen untersucht werden.
    \begin{enumerate}
	\item	Welche gemeinsame Eigenschaft haben diese drei Br"uche! Bestimme daraus den Typ der zugeh"origen Dezimal\-zahlen!
	\item	Berechne durch Division mit Rest zu den gegebenen Br"uchen jeweils die ent\-sprechende Dezimalzahl!
	\item	Was f"allt dir an den Perioden\-l"angen auf? Finde eine Formel, wie man bei einem vollst"andig gek"urzten Bruch
			mithilfe des Nenners~$n$ die maximale Perioden\-l"ange~$Pl_{max}$ der zuge\-h"origen Dezimal\-zahl absch"atzen kann!
    \end{enumerate}
}
%  
\LSG
{
    \begin{enumerate}
	\item	Die Nenner der Br"uche sind alle zweistellige Primzahlen.\\
			Somit ist der Typ der entsprechenden Dezimal\-zahlen immer '$rein\;periodisch$'.
	\item	$\frac{1}{17}=0{,}\textcolor{blue}{0588235294117647}0588235294\ldots=0{,}\overline{0588235294117647}.$\\
			$\frac{1}{19}=0{,}\textcolor{blue}{052631578947368421}052631578947\ldots=0{,}\overline{052631578947368421}.$\\
			$\frac{1}{23}=0{,}\textcolor{blue}{0434782608695652173913}0434782608695652\ldots=0{,}\overline{0434782608695652173913}.$
	\item	Alle Periodenl"angen sind jeweils um 1 kleiner als der Nenner des zugeh"origen Bruches.
			Da bei der schriftlichen Division der Rest immer kleiner ist als der Nenner, gibt es also maximal soviele verschiedene Reste, wie der Wert
			des Nenners angibt. Da aber ein Rest~0 zu einer Dezimal\-zahl mit endlichen Dezimalen f"uhren w"urde, f"allt diese Zahl als m"oglicher Rest aus.\\
			Somit gilt:~$Pl_{max}=n\,-1$.
    \end{enumerate}
}
