%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{06jo002_03mn.1}
      \end{center}
Im Quadrat $ABCD$ sind die get"onten Dreiecke $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$, $\ldots$ und die \GF{wei"sen}
Dreiecke $(D_1)$,$(D_2)$, $D_3)$, $(D_4), \ldots$ zu sehen.
\begin{enumerate}
      \item Welche gemeinsame Besonderheiten besitzen alle diese Dreiecke?
      \item Welchen Bruchteil der Quadratfl"ache nimmt das get"onte Dreieck $(1)$ ein?
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Fl"acheninhalt $A_{(1)}$ des Dreiecks $(1)$
	          und dem Fl"acheninhalt $A_{(2)}$ des Dreiecks $(2)$? Begr"unde.
	    \item Welchen Bruchteil der Quadratfl"ache $A_Q$ nehmen die beiden get"onten Dreiecke
	          $(1)$ und $(2)$ zusammen ein? Wie viel Prozent sind das?
	    \end{itemize}
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Fl"acheninhalt eines dieser immer kleiner
	          werdenden get"onten Dreiecke $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$, $\ldots$ und seinem
		  jeweiligen Vorg"anger? Begr"unde deine Antwort anhand der Dreiecke
		  $(D_1)$,$(D_2)$, $D_3)$, $(D_4)$ $\ldots$.
	    \item Welchen Bruchteil der Fl"ache des Quadrates $ABCD$ nimmt das get"onte Dreieck $(4)$ ein?
	    \end{itemize}
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item Wie gro"s sind alle get"onten Dreiecke
	          $(1)$, $(2)$, $(3)$, $(4)$, $\ldots$ zusammen?
	    \item Was ergibt $\D\frac{1}{2}+\D\frac{1}{4}+\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\ldots$?
	    \item Was ergibt $\D\frac{1}{4}+\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\D\frac{1}{32}+\ldots$?
	    \end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{

\begin{enumerate}
      \item Alle diese Dreiecke sind gleichschenklig-rechtwinklig.
      \item $A_{(1)}=\D\frac{1}{2}\,A_Q$.
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item $A_{(2)}=\D\frac{1}{2}\,A_{(1)}$. Begr"undung:
	    
	          Die Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ zerlegen das Quadrat $ABCD$ in vier kongruente
		  Teildreiecke, wovon eines das Teildreieck $(2)$ ist. Das Dreieck $ABD$ ist aus 
		  zwei dieser Teildreiecke zusammengesetzt. Also ist das Dreieck $(2)$ halb so gro"s wie
		  das Teildreieck $(1)$.
	     \item $\D\frac{1}{2}+\D\frac{1}{4}=\D\frac{3}{4}=0,75=75\%$.
	    \end{itemize}
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item Es wurde schon gezeigt, dass $A_{(2)}=\frac{1}{2}A_{(1)}$ gilt.\\
	          Die Dreiecke $MPC$ (= Dreieck $(D_1))$, $MCQ$ und Dreieck $(3)$ sind kongruent.\\
		  Also gilt  $A_{(3)}=\frac{1}{2}A_{(2)}$.\\
		  Am oben liegenden Quadrat mit der Seitenl"ange $\overline{DQ}$ erkennst du:
		  $A_{(4)}=\frac{1}{2}A_{(3)}$ und die Dreiecke $(4)$ und $(D_2)$ sind kongruent.\\
		  Insgesamt gilt: Jedes get"onte Dreieck ist halb so gro"s wie sein Vorg"anger. Jedes
		  get"onte Dreieck hat einen kongruenten Partner unter den Dreiecken
		  $(D_1)$,$(D_2)$, $D_3)$, $(D_4)$, $\ldots$ . Jedes der Dreiecke
		  $(D_1)$,$(D_2)$, $D_3)$, $(D_4)$, $\ldots$ hat einen kongruenten Partner in den get"onten.
	    \item $A_{(4)}=A_{(3)}:2=A_{(2)}:4=A_{(1)}:8=\frac{1}{2}A_Q:8=\frac{1}{16}A_Q$.
	    \end{itemize}
      \item 
            \begin{itemize}
	    \item Aus der Zeichnung erkennst du: Alle Dreiecke von $(1)$, $(2)$ angefangen bis ins 
	          unendlich kleinste ergeben das vollst"andige Quadrat $ABCD$.
	    \item Dann muss $\D\frac{1}{2}+\D\frac{1}{4}+\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\ldots=1$ sein.
	    \item $\D\frac{1}{4}+\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\D\frac{1}{32}+\ldots =
	          \underbrace{\D\frac{1}{2}+\D\frac{1}{4}+\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\ldots}_{=1} -\D\frac{1}{2}=1-\D\frac{1}{2}=\D\frac{1}{2}$.
	    \end{itemize}
\end{enumerate}

}
