%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{06jo002_02mn.1}
      \end{center}
Der Schweizer K"unstler Eugen Jost hat ein Bild gemalt, in dem lauter ineinander geschachtelte
Quadrate dargestellt sind. Das Bild oben verdeutlicht dies.
\begin{enumerate}
\item Erkl"are, wie Eugen Jost diese Quadrate zustande gebracht hat.
\item Eine chinesische Spruchweisheit lautet: \GF{Das Unendliche ist ein Quadrat ohne Ecken.}
      Erkl"are den Zusammenhang zwischen dieser Aussage und dem Bild.
 \item In der obigen Darstellung sind einige Dreiecke nochmals farbig herausgehoben,
      die sich im Uhrzeigersinn 
      spiralf"ormig in das Zentrum $Z$ des Quadrates hineinwinden. Die Spirale
      beginnt mit dem Dreieck $AM_1M_2$.
      \begin{itemize}
	    \item Welche gemeinsame Besonderheiten weisen diese Dreiecke in der Spirale auf?
	    \item Welchen Bruchteil des Fl"acheninhaltes des Quadrates $ABCD$ nimmt das
	          Dreieck $AM_1M_2$ ein? Wie viel Prozent sind das?
	    \item Begr"unde: Der Fl"acheninhalt des n"achst kleineren Dreiecks $PQM_2$ ist halb
	          so gro"s wie der des Dreiecks $AM_1M_2$. Betrachte dazu die gestrichelte
		  Hilfslinie $\overline{AP}$.
      \end{itemize}
\item
            \begin{itemize}
	    \item Zeichne das Quadrat $AM_1ZM_2$ mit einer Seitenl"ange von $4\,\mathrm{cm}$.\\
	          "Ubertrage das Dreieck $PQM_2$ in der richtigen Position.\\
	          Begr"unde: Alle Dreiecke in der Spirale des Bildes lassen  sich l"uckenlos
		  in dem Quadrat $AM_1ZM_2$ unterbringen.
	    \item Begr"unde: Der Fl"acheninhalt aller Dreiecke in der Spirale ergibt zusammen
	          ein Viertel des Fl"acheninhaltes des Quadrates $ABCD$.
	    \item Was ergibt
	          $\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\D\frac{1}{32}+\D\frac{1}{64}+\ldots$?
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{

\begin{enumerate}
      \item Die Seitenmittelpunkte des gro"sen Quadrates $ABCD$ liefern ein Quadrat, das um $90^\circ$
            gedreht worden ist. Die Seitenmittelpunkte dieses Quadrates liefern wiederum ein kleineres
	    Quadrat, dessen Seitenmittelpunkte erneut ein noch kleineres Quadrat erzeugen usw.
	    Das Ganze \GF{verschwindet} schlie"slich im Zentrum der Figur.
      \item Die Eckpunkte der immer kleiner werdenden Quadrate r"ucken n"aher und n"aher zusammen,
            bis sie sich nicht mehr voneinander unterscheiden lassen. Somit entsteht im Unendlichen ein
	    \GF{Quadrat ohne Ecken}.
      \begin{itemize}
	    \item Diese Dreiecke sind alle gleichschenklig-rechtwinklig.
	    \item Das Dreieck $AM_1M_2$ nimmt $\frac{1}{8}$ des Fl"acheninhaltes des Quadrates 
	          $ABCD$ ein.\\
		  $\frac{1}{8}=0{,}125=12{,}5\%$.
	    \item Das Viereck $APQM_2$ ist ein Parallelogramm. Die Diagonale $\overline{PM}_2$ zerlegt dieses
	          Parallelogramm in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.\\
		  Die Strecke $\overline{AP}$ zerlegt das Dreieck $AM_1M_2$ ebenfalls in zwei kongruente 
		  gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.\\
		  Also gilt: $A_{\Delta PQM_2}=\frac{1}{2}A_{\Delta AM_1M_2}$.
      \end{itemize}
\item
            \begin{itemize}
	          \item \mbox{}
                        \begin{center}
                              \includegraphics{06jo002_l01mn.1}
                        \end{center}
	          Das Viereck $PZQM_2$ ist ein Quadrat.\\
		  Das Dreieck $PQM_2$ l"asst sich also mit dem Dreieck $PZM_2$ zur Deckung bringen.\\
		  Das Dreieck, das dem Dreieck $PQM_2$ unmittelbar in der Spirale folgt, ist zum
		  Dreieck $(1)$ kongruent. Sein Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem 
		  Dreieck $(2)$, dessen Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck $(3)$
		  usw.\\
		  So wird das Dreieck $PM_1Z$ nach und nach l"uckenlos mit Nachfolgern in der Spirale
		  aufgef"ullt.
	    \item Mit allen Dreiecken aus der Spirale l"asst sich das Quadrat $AM_1ZM_2$ l"uckenlos
	          f"ullen. Dieses Quadrat bedeckt $\frac{1}{4}$ des Quadrates $ABCD$.
	    \item $\D\frac{1}{8}+\D\frac{1}{16}+\D\frac{1}{32}+\D\frac{1}{64}+\ldots =\D\frac{1}{4}$.
            \end{itemize}
\end{enumerate}

}
