%
\ANG
{	Bei folgenden Abbildungen wird das gleichseitige Dreieck~$ABC$ jeweils von der Strecke~$\overline{BD}$ halbiert.
	Weiterhin bestimmt die Variable~$n$, von wievielen Punkten~$T_n$ die Seite~$\overline{BC}$ des Dreiecks in gleich lange Abschnitte geteilt wird.
	Die Verbindungsstrecken~$\overline{AT}_n$ mit den Schnitt\-punkten~$S_n$ unter\-teilen das Dreieck für wachsendes~$n$ in immer mehr Teilflächen.\\
	\includegraphics[width=15cm]{06mn5101_a1}
    \begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Abbildung~(IV) für $n=3$ mit~$|\overline{AB}|=10\,cm\,$!
	\item	Zähle für die ersten vier Abbildungen jeweils die Anzahl der Punkte
			und finde einen allgemeinen Term~$P\,(n)$, mit dessen Hilfe sich für jedes~$n$
			diese Anzahl berechnen lässt!
	\item	Erstelle zum Term~$P\,(n)$ mit~$n\in G=\{0; 1; 2; 3; \ldots; 9\}$ eine numerische und eine grafische Werte\-tabelle!
			Dabei soll an der $x$-Achse für~$n$ eine Längen\-einheit~($LE$) und an der $y$-Achse für die Punkte-Anzahl~$P\,(n)$
			zwei Längen\-einheiten jeweils einen Zenti\-meter betragen!
	\item	Zähle für die ersten vier Abbildungen jeweils die Anzahl der darin enthaltenen Dreiecke! Notiere dabei für jedes
			gefundene Dreieck seinen durch die Eck\-punkte bestimmten Namen, z.\,B.~$\triangle ABC, \triangle ABD,$~$\dots$!
	\item	Der allgemeine Term~$D\,(n)=(n\;+1)\cdot(n\;+3)$ berechnet bei den Abbildungen zu jedem~$n$ jeweils die Anzahl der
			darin vorkommenden Dreiecke.\\
			Erstelle auch zu diesem Term~$D\,(n)$ mit~$n\in G=[0;\;9]$ eine numerische und eine grafische Werte\-tabelle!
			Dabei soll an der $x$-Achse für~$n$ eine~$LE$ und an der $y$-Achse für die Dreieck-Anzahl~$D\,(n)$
			zehn~$LE$ jeweils $1\,cm$ betragen!\\
			Vergleiche die Zählung aus Teil\-aufgabe~(d) mit der numerischen Werte\-tabelle!
	\item	Liegt bei den Termen~$P\,(n)$ und $D\,(n)$ direkte Proportionalität vor?\\
			Begründe deine Antwort mithilfe der Wertetabelle-Graphen!
	\end{enumerate}
}
\definecolor{darkred}{rgb}{0.5, 0.0, 0.0}  
\definecolor{darkgreen}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}  
\LSG{
    \begin{itemize}
	\item[(a)]	+~(b)~~Es kommen für jede weitere Abbildung immer zwei Punkte~$S_n$ und $T_n$ dazu!\\
				\includegraphics[width=5cm]{06mn5101n3}
				\begin{tabular}[b]{l}\\
				$P\,(\textcolor{darkred}{0})=4\;+\textcolor{darkred}{0}\cdot2=4,$\\
				$P\,(\textcolor{darkred}{1})=4\;+\textcolor{darkred}{1}\cdot2=6,$\\
				$P\,(\textcolor{darkred}{2})=4\;+\textcolor{darkred}{2}\cdot2=8,$\\
				$P\,(\textcolor{darkred}{3})=4\;+\textcolor{darkred}{3}\cdot2=10,$\\
				$\ldots$\\
				$\textcolor{blue}{P}\,(\textcolor{darkred}{n})=4\;+\textcolor{darkred}{n}\cdot2=\textcolor{blue}{2\cdot\textcolor{darkred}{n}\;+4}$.\\
				~\\~\\
				\end{tabular}
	\item[(c)]	~\\
				\begin{tabular}{|r||r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
				\hline
				$\textcolor{darkred}{n}$
				&{0}	&{1}	&{2}	&{3}	&{4}	&{5}	&{6}	&{7}	&{8}	&{9}\\
				\hline
				${\small\stackrel{\textcolor{blue}{P}\,(\textcolor{darkred}{n})~=}{\textcolor{blue}{2\cdot\textcolor{darkred}{n}\;+4}}}$
				&{4}	&{6}	&{8}	&{10}	&{12}	&{14}	&{16}	&{18}	&{20}	&{22}\\
				\hline
				\end{tabular}\\
				\phantom{\hspace{2cm}}\includegraphics[width=6.8cm]{06mn5101c_wtg}
	\item[(d)]	$D\,(0)=|\{\triangle ABD;\;\triangle ABC;\;\triangle BCD\}|=3$\\
				$D\,(1)=D\,(0)\;+|\{\triangle ABS_1;\;\triangle AS_1D;$\\
				$\phantom{D\,(1)=D\,(0)\;+|\{}\triangle ABT_1;\;\triangle AT_1C;\;BT_1S_1\}|=8$\\
				$D\,(2)=D\,(1)\;+|\{\triangle ABS_2;\;\triangle AS_1S_2;\;\triangle AS_2D;$\\
				$\phantom{D\,(2)=D\,(1)\;+|\{}\triangle ABT_2;\;\triangle AT_1T_2;\;\triangle AT_2C;\;\triangle BT_2S_2\}|=15$\\
				$D\,(3)=D\,(2)\;+|\{\triangle ABS_3;\;\triangle AS_1S_3;\;\triangle AS_2S_3;\;\triangle AS_3D;$\\
				$\phantom{D\,(3)=D\,(2)\;+|\{}\triangle ABT_3;\;\triangle AT_1T_3;\;\triangle AT_2T_3;\;\triangle AT_3C;\;\triangle BT_3S_3\}|=24$
	\item[(e)]	~\\
				\begin{tabular}{|r||r|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
				\hline
				$\textcolor{darkred}{n}$
				&{0}	&{1}	&{2}	&{3}	&{4}	&{5}	&{6}	&{7}	&{8}	&{9}\\
				\hline
				${\small\stackrel{\textcolor{darkgreen}{D}\,(\textcolor{darkred}{n})~=}{\textcolor{darkgreen}{\left(\textcolor{darkred}{n}\;+1\right)\cdot\left(\textcolor{darkred}{n}\;+3\right)}}}$
				&{3}	&{8}	&{15}	&{24}	&{35}	&{48}	&{63}	&{80}	&{99}	&{120}\\
				\hline
				\end{tabular}\\
				\phantom{\hspace{3.4cm}}\includegraphics[width=6.8cm]{06mn5101e_wtg}
	\item[(f)]	Bei keinem Term liegt direkte Proportionalität vor. Beim Term~$P\,(n)$ liegen die zugehörgen Zahlen\-paare als Punkte zwar auf einer Geraden,
				welche aber nicht durch den Ursprung verläuft. Durch die Punkte vom Term~$D\,(n)$ kann man nicht einmal eine Gerade legen.
	\end{itemize}
}
