%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics[width=12cm]{06eh042_a1}
      \end{center}
Die Abbildung zeigt, wie du auf verschiedene Weise drei kongruente Rechtecke mit einer L"ange von jeweils 
$3\,\mathrm{cm}$ und einer Breite von jeweils $2\,\mathrm{cm}$ zu einem gr"o"seren Rechteck zusammenf"ugen kannst.
\begin{enumerate}
\item Berechne den Umfang des gro"sen Rechtecks in der M"oglichkeit a) und in der M"oglichkeit b).
\item Es entstehen nach der M"oglichkeit a) und der M"oglichkeit b) noch gr"o"sere Rechtecke, wenn du 17 kongruente
      kleine Rechtecke mit denselben Abmessungen wie oben dargestellt aneinander f"ugst. Berechne f"ur a) und b) den
      Umfang des betreffenden gro"sen Rechtecks.
\item \begin{itemize}
      \item Zeige: Wenn mit Hilfe der M"oglichkeit a) $x$ Rechtecke zusammengef"ugt werden, dann gilt f"ur den
            Umfang $u$ des betreffenden gro"sen Rechtecks in Abh"angikeit von $x$:\\
	    \centerline{$u_a(x)= (6\cdot x+4)\,\mathrm{cm}$ mit $x\in\NN$}.
      \item Zeige: Wenn mit Hilfe der M"oglichkeit b) $y$ Rechtecke zusammengef"ugt werden, dann gilt f"ur den
            Umfang $u$ des betreffenden gro"sen Rechtecks in Abh"angikeit von $y$:\\
	    \centerline{$u_b(y)= (4\cdot y+6)\,\mathrm{cm}$ mit $y\in\NN$}.
      \end{itemize}
\item Berechne die Anzahl $x$ von kleinen Rechtecken, die sich nach der M"oglichkeit a) zu einem gro"sen Rechteck
      mit einem Umfang von $292\,\mathrm{cm}$ zusammenf"ugen lassen.
\item Gibt es eine Anzahl $y$ von kleinen Rechtecken, die sich nach der M"oglichkeit b) zu einem gro"sen Rechteck
      mit einem Umfang von $5,36\,\mathrm{m}$ zusammenf"ugen lassen? Begr"unde. 
\item Kannst du nach irgend einer M"oglichkeit a) oder b) aus kleinen Rechtecken ein Rechteck mit einem Umfang von
      $12345\,\mathrm{cm}$ zusammenf"ugen? Begr"unde.
\item Tabellarisiere $u_a$ und $u_b$ so weit, bis mindestens f"unf gemeinsame Umfangsl"angen auftauchen.\\
      Entnimm der Tabelle diese Umfangsl"angen und die Zahl der ben"otigten Rechtecke im Fall a) und im Fall b).
\item Begr"unde, dass du beliebig viele gemeinsame Umfangsl"angen mit der Methode a)
      und mit der Methode b) erzeugen kannst.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
      \item M"oglichkeit a):\\
	          Die L"angsseite taucht $6$-mal und die Breitseite taucht 2-mal auf.
		  Also betr"agt der Umfang des gro"sen Rechtecks
		  $6\cdot 3\,\mathrm{cm}+2\cdot 2\,\mathrm{cm}=22\,\mathrm{cm}$.\\
            M"oglichkeit b):\\
	          Die L"angsseite taucht $2$-mal und die Breitseite taucht 6-mal auf.
		  Also betr"agt der Umfang des gro"sen Rechtecks
		  $2\cdot 3\,\mathrm{cm}+6\cdot 2\,\mathrm{cm}=18\,\mathrm{cm}$.
      \item M"oglichkeit a):\\
	          Die L"angsseite taucht jetzt $34$-mal und die Breitseite taucht nach wie vor nur 2-mal auf.
		  Also betr"agt der Umfang des gro"sen Rechtecks\\
		  $34\cdot 3\,\mathrm{cm}+2\cdot 2\,\mathrm{cm}=106\,\mathrm{cm}$.\\
            M"oglichkeit b):\\
	          Jetzt taucht die Breitseite $34$-mal auf, und die L"angsseite taucht nur 2-mal auf.
		  Also betr"agt der Umfang des gro"sen Rechtecks\\
		  $34\cdot 2\,\mathrm{cm}+2\cdot 3\,\mathrm{cm}=74\,\mathrm{cm}$.
      \item \begin{itemize}
                  \item Jede $3\,\mathrm{cm}$ lange L"angsseite taucht doppelt auf. Wenn $x$ Rechtecke aneinander
		        gef"ugt werden, tragen somit alle L"angsseiten mit $2\cdot3\,\mathrm{cm}\cdot x=
			6x\,\mathrm{cm}$ zum Umfang bei.
			Hinzu kommen noch 2 Breitseiten zu je $2\,\mathrm{cm}$, also zusammen $4\,\mathrm{cm}$.
			Damit ergibt sich: $u_a(x)= (6\cdot x+4)\,\mathrm{cm}$.
                  \item Jede $2\,\mathrm{cm}$ lange Breitseite taucht doppelt auf. Wenn $y$ Rechtecke aneinander
		        gef"ugt werden, tragen somit alle Breitseiten mit $2\cdot2\,\mathrm{cm}\cdot y=
			4y\,\mathrm{cm}$ zum Umfang bei.
			Hinzu kommen noch 2 L"angsseiten zu je $3\,\mathrm{cm}$, also zusammen $6\,\mathrm{cm}$.
			Damit ergibt sich: $u_b(y)= (4\cdot y+6)\,\mathrm{cm}$.
            \end{itemize}
      \item Es gilt: $6\cdot x+4=292\quad\Leftrightarrow\quad x = 48$. Es m"ussen 48 kleine Rechtecke aneinander
            gef"ugt werden.
      \item Es m"usste gelten: $4\cdot y+6=536\quad\Leftrightarrow\quad y = 132,5\notin \NN$.\\
            Weil $y$ eine {\bf Anzahl} darstellt, geht mit der M"oglichkeit b) nichts.
      \item F"ur die Ma"szahl von $u_a$ gilt: $6x+4=2\cdot(3x+2)$. Diese Ma"szahl ist also immer {\bf gerade}.\\
            F"ur die Ma"szahl von $u_b$ gilt: $4y+6=2\cdot(2y+3)$. Auch diese Ma"szahl ist immer {\bf gerade}.\\
	    Die Ma"szahl 12345 ist aber {\bf ungerade}. Ein Zusammenf"ugen mit diesem Ergebnis ist also nicht
	    m"oglich.
      \item \mbox{}\\
            \begin{tabular}{l || c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c | c}
            Anzahl $x$ & {\bf 1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\
	    \hline
            $6x+4$ & {\bf 10} & 16 & {\bf 22} & 28 & {\bf 34} & 40 & {\bf 46} & 52 & {\bf 58} & 64 &  {\bf 70}& 76 & 
	    {\bf 82}\\
	    \hline
            Anzahl $y$ & {\bf 1} & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13\\
	    \hline
            $4y+6$ & {\bf 10} & 14 & 18 & {\bf 22} & 26 & 30 & {\bf 34} & 38 & 42 & {\bf 46} & 50 & 54 & {\bf 58}\\
            \end{tabular}
	    \mbox{}\\
	    
	    Bei einem einzigen Rechteck liefern nat"urlich beide \GF{M"oglichkeiten} identische Ergebnisse.\\
	    F"ugst du nach a) 3 oder nach b) 4 Rechtecke zusammen, dann ergibt sich ein gemeinsamer Umfang von
	    $22\,\mathrm{cm}$.\\
	    Ebenso liefern mit a) 5 Rechtecke und mit b) 7 Rechtecke den gemeinsamen Umfang von $34\,\mathrm{cm}$ 
	    usw.
      \item Der Tabelle kannst du entnehmen, dass der $x$-Wert von der Zahl 1 ausgehend immer um 2 und
            gleichzeitig der $y$-Wert von der Zahl 1 ausgehend immer um 3 zunehmen muss, damit die zugeh"orige
	    Umfangsl"ange nach beiden M"oglichkeiten des Zusammenf"ugens "ubereinstimmt. Also gibt es beliebig viele
	    M"oglichkeiten der "Ubereinstimmung.\\
	    Von Fall zu Fall nimmt der Umfang von $10\,\mathrm{cm}$ ausgehend immer um $12\,\mathrm{cm}$ zu.\\
	    
	    Du kannst das auch allgemein durch Gleichsetzen zeigen:\\
            Es muss gelten: $6x+4=4y+6\,|:2\quad\Leftrightarrow\quad 3x+2=2y+3$ mit $x,y\in\NN$. (*)\\
            Die Gleichung (*) soll also nur nat"urliche Zahlen als L"osungen liefern. Eine solche Gleichung hei"st
	    nach dem griechischen Mathematiker {\bf Diophant} (um 250 n.Chr.) {\bf diophantische Gleichung}.\\
	    
	    $3x+2=2y+3\quad\Leftrightarrow\quad x=\D\frac{2y+1}{3}$ (**)\\
	    
	    $y=1$ liefert $x=1$, also wie gew"unscht eine nat"urliche Zahl.\\
	    $y=2$ und $y=3$ liefern f"ur $x$ Br"uche, scheiden also aus. Erst $y=4=1+3$ liefert das wieder 
	    brauchbare $x=3$. Es muss also zum $y$-Wert 1 immer ein Dreiervielfaches addiert werden, damit $x$ ganz
	    wird.\\
	    Allgemein k"onntest du es so ausdr"ucken: $y=1+3k$ mit $k\in\NN_0$. Setze es in die Gleichung (**) ein:\\
	    
	    $x=\D\frac{2\cdot(1+3k)+1}{3}=\D\frac{2+6k+1}{3}=\D\frac{3+6k}{3}=\D\frac{3(1+2k)}{3}$\\
	    
	    K"urze mit 3. Dann erh"altst du $x=1+2k$.\\
	    Durchl"auft $k$ die Zahlen aus $\NN_0$, kannst du beliebig viele gemeinsame Umfangsl"angen erzeugen:\\
	    
	    $k=0$ liefert $x=y=1$ (klar).\\
	    $k=1$ liefert $x=3$ und $y=4$. Das liefert den Tabellenwert 22.\\
	    $k=2$ liefert $x=5$ und $y=7$. Das liefert den Tabellenwert 34.\\
	    $k=3$ liefert $x=7$ und $y=10$. Das liefert den Tabellenwert 46 usw.\\
\end{enumerate}
}

