%
\ANG
{In der Klasse 5a ist ein neues Rechenzeichen, n"amlich das \GF{$\heartsuit$} f"ur nat"urliche Zahlen erfunden worden.\\
F"ur dieses Zeichen gilt die Rechenvorschrift
\begin{center}
$x\,\heartsuit\,y=x^2+x\cdot y$, wobei $x$ und $y$ Platzhalter f"ur nat"urliche Zahlen sind.
\end{center}
Beispiel:\quad$x=8$ und $y=5$\,:\quad$8\,\heartsuit\,5=8^2+8\cdot 5=64+40=104$.
\begin{enumerate}
\item Berechne $1\,\heartsuit\,4$, $1\,\heartsuit\,5$, $1\,\heartsuit\,6,\,\ldots\,,\,1\,\heartsuit\,473589$.
\item Untersuche, ob f"ur das Rechenzeichen $\heartsuit$ das Kommutativgesetz gilt.
\item $7\,\heartsuit\,\square=126$\\
      Welche Zahl geh"ort in das K"astchen?
\item Edwin hat etwas entdeckt: \GF{$x\,\heartsuit\,x$ ergibt stets eine gerade Zahl!} Begr"unde, dass Edwin Recht hat.
\item F"ur welche Belegungen von $x$ und $y$ ergibt $x\,\heartsuit\,y$ stets eine ungerade Zahl? Begr"unde deine Antwort.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $1\,\heartsuit\,4=1^2+1\cdot 4=5$,\\
      $1\,\heartsuit\,5=1^2+1\cdot 5=6$,\\
      $1\,\heartsuit\,6=1^2+1\cdot 6=7$,\,\ldots\,,\,
      $1\,\heartsuit\,473589=1^2+1\cdot 473589=473590$.
\item 
      Verwende ein Zahlenbeispiel: $8\,\heartsuit\,5=104$. (Siehe oben.)\\
      Aber $5\,\heartsuit\,8=5^2+5\cdot8=65$.\quad Das Kommutativgesetz gilt in diesem Fall nicht, also gilt es f"ur das Rechenziechen $\heartsuit$ nicht.
\item $7\,\heartsuit\,\square=126$ bedeutet:\\
      $7^2+7\cdot\square=126\quad\Rightarrow\quad7\cdot\square=77\quad\Rightarrow\quad\square=11$.
\item $x\,\heartsuit\,x=x^2+x^2$.\\
      Rechts wird zweimal die gleiche Zahl addiert, egal, welche Belegung des Platzhalters $x$ du gerade w"ahlst. Wenn du aber zu einer Zahl die gleiche Zahl addierst, kommt stets eine gerade Zahl heraus.
\item \mbox{}\\
      \begin{tabular}{l l}
      $x$ ist gerade: & Dann ergibt $x^2+xy$ eine gerade Zahl.\\
      $x$ ist ungerade und $y$ ist ungerade: & Dann ergibt $x^2+xy$ eine gerade Zahl.\\
      $x$ ist {\bf ungerade} und $y$ ist {\bf gerade}: & {\bf Dann ist $x^2+xy$ ungerade.}\\
      \end{tabular}
\end{enumerate}
}
