%
\ANG
{Zur Berechnung der mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se musst du zuweilen  erst
Zwischenwinkel selbst markieren und diese zun"achst berechnen. Die Zeichnungen sind nicht
ma"sstabgerecht.
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh039_aa.1}
      \end{center}
      In der Figur a) gilt: $\overline{AP}=5\,\mathrm{cm}$ und $\alpha+\delta=90^\circ$.
      \begin{itemize}
            \item Berechne die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se.
            \item Begr"unde: $\overline{AB}=10\,\mathrm{cm}$ und $\overline{BC}=5\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}    
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh039_ab.1}
      \end{center}
      In der Figur b) gilt: $\overline{PQ}=9,38\,\mathrm{cm}$.
      \begin{itemize}
            \item Berechne die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se.
            \item Begr"unde: $\overline{RT}=4,69\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}    
\end{enumerate}     
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
      \begin{itemize}
            \item Der Winkel $CPA$ ist der Nebenwinkel des $60^\circ\,$-Winkels:\\
	          $\sphericalangle CPA=180^\circ -60^\circ=120^\circ$.\\
		  $\Rightarrow\quad\alpha=(180^\circ-120^\circ):2=30^\circ$.\\
		  Wegen $\alpha+\delta=90^\circ$ folgt: $\delta=60^\circ$.\\
		  Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck $PBC$ ergibt sich $\beta=60^\circ$.
            \item Das Dreieck $APC$ enth"alt zwei ma"sgleiche Innenwinkel, also ist es
	          {\bf gleichschenklig}.\\
		  $\Rightarrow\quad\overline{AP}=\overline{PC}=5\,\mathrm{cm}$.\\
	          Das Dreieck $PBC$ enth"alt drei ma"sgleiche Innenwinkel, also ist es
	          {\bf gleichseitig}.\\
		  Damit gilt: $\overline{AP}=5\,\mathrm{cm}=\overline{PC}=\overline{CB}=
		  \overline{PB}$\\
		  $\Rightarrow\quad\overline{AB}=5\,\mathrm{cm}+5\,\mathrm{cm}= 10\,\mathrm{cm}$.
      \end{itemize}    
\item 
                  In der Figur b) gilt: $\overline{PQ}=9,38\,\mathrm{cm}$.
      \begin{itemize}
            \item Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck $TQR$ ergibt sich:\\
	          $\sphericalangle QTR=180^\circ -2\cdot 15^\circ = 150^\circ$.\\
	          Der Winkel $RTP$ ist der Nebenwinkel des $150^\circ\,$-Winkels:\\
	          $\sphericalangle RTP=180^\circ -150^\circ=30^\circ$.\\
		  Im Dreieck $PTR$ folgt $\psi=(180^\circ -30^\circ):2 = 75^\circ$.\\
		  {\bf Anmerkung:} Wegen $\psi +15^\circ=90^\circ$ ist das Dreieck $PQR$
		  rechtwinklig.
            \item Das Dreieck $TQR$ ist gleichschenklig, weil es zwei ma"sgleiche Innenwinkel
	          besitzt:\\
		  $\Rightarrow\quad\overline{TQ}=\overline{TR}$.\\
	          Das Dreieck $PTR$ ist ebenfalls gleichschenklig, weil es zwei ma"sgleiche
		  Innenwinkel besitzt:\\
		  $\Rightarrow\quad\overline{TP}=\overline{TR}$.\\
		  Also gilt: $\overline{TQ}=\overline{TR}=\overline{TP}$. Also ist der Punkt $T$ der
		  Mittelpunkt der Seite $[PQ]$ und es gilt:
		  $\overline{PT}=0.5\cdot\overline{PQ}=4,69\,\mathrm{cm}$.\\
		  {\bf Anmerkung}: Wegen $\overline{TQ}=\overline{TR}=\overline{TP}$ liegen die
		  Punkte $P$, $Q$ und $R$ auf einer Kreislinie mit dem Mittelpunkt $T$.
     \end{itemize}    
\end{enumerate}     

}
