%
\ANG
{
\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh051.1}
      \end{center}
Die Punkte $P$ und $Q$ sind die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AP}=4\,\mathrm{cm}$.
\item Berechne $\varphi$.
\item Begr"unde, dass das Dreieck $APB$ nicht gleichschenklig ist.
\item Wie gro"s m"usste der Winkel $QPA$ werden, damit das Dreieck $APB$ bei sonst unver"anderlichen
      Bedingungen gleichschenklig wird?
\item K"onnte das Dreieck $APB$ bei geeigneter Wahl des Winkels $QPA$ vielleicht sogar gleichseitig werden?
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh051_l1.1}
      \end{center}
\item Die beiden Dreiecke $APQ$ und $QPB$ sind gleichschenklig:
      $\overline{AP}=\overline{PQ}=\overline{QB}$.\\
      Also gilt: $\alpha_1=\alpha_2=(180^\circ -40^\circ):2=70^\circ$.\\
      Der Winkel mit dem Ma"s $\delta$ ist der Nebenwinkel von $\alpha_2$:\\
      $\delta = 180^\circ-\alpha_2=180^\circ-70^\circ=110^\circ$.\\
      Im Dreieck $QPB$ gilt: $\varphi=\psi$.\\
      $\Rightarrow\quad\varphi=\psi=(180^\circ-110^\circ):2=35^\circ$.
\item Es m"usste $\alpha_1=40^\circ+\psi$ gelten, aber: $40^\circ+35^\circ=75^\circ\neq 70^\circ\quad
      (\dag)$.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh051_l2.1}
      \end{center}
      Es muss gelten:\\
      $\beta=180^\circ-2\cdot\alpha$, $\quad\delta=180^\circ-\alpha$ und\\
      $\varphi=180^\circ-\delta=[180^\circ-(180^\circ-\alpha)]:2=\frac{1}{2}\alpha$.\\
      Soll das Dreeick $APB$ gleichschenklig werden, dann muss $\alpha=\beta+\varphi$ sein:\\
      $\alpha=180^\circ-2\alpha+\frac{1}{2}\alpha
      \quad\Leftrightarrow\quad 2,5\alpha=180^\circ\quad\Leftrightarrow\quad\alpha=72^\circ$.
\item In der L"osung der Aufgabe (d) wurde gezeigt, dass es nur ein einziges gleichschenkliges Dreieck $APB$
      gibt. Dessen Basiswinkel hat aber das Ma"s $72^\circ$. Im Falle des gleichseitigen Dreiecks m"usste
      der Basiswinkel (wie alle Inneninkel dort) $60^\circ$ betragen. Also ist ein gleichseitiges Dreeick
      auf diese Weise nicht zu konstruieren.
\end{enumerate}

}
