
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh011_a.1}
      \end{center}
Herr Theo Lith ist als Platzwart f"ur ein Spielfeld $ABC$ verantwortlich, das die Form eines
gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenl"ange $60\,\mathrm{m}$ hat.
Der Fahnenmast $F_1$ ist $36\,\mathrm{m}$ vom Punkt B entfernt.\\
Wie in der Skizze dargestellt, l"auft er w"ahrend eines Kontrollgangs zu den
seitlichen Begrenzungen dieses Spielfeldes von $F_1$ nach $G$, dann nach $H$
und schlie"slich gelangt er zum Fahnenmast $F_2$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur mit dem Weg von Herrn Lith. Dabei sollen $10\,\mathrm{m}$ einem cm in
deinem Heft entsprechen.
\item Berechne den Abstand der beiden Fahnenmasten.
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh011_a01.1}
      \end{center}
      Es wurden die Punkte $F_1$ an $[BC]$ und $F_2$ an $[AC]$ gespiegelt. Dadurch entstehen die
      Spiegelbilder $F_1'$ und $F_2'$.
      \begin{itemize}
            \item Begr"unde anhand der Zeichnung: Es gilt z.B. $\overline{F_1G}=\overline{GF_1'}$
	          und $\overline{HF_2'}=\overline{HF_2}$.
	    \item Begr"unde: Der Streckenzug $F_1'-G-H-F_2'$ ist genauso lang wie der Weg von
	          Herrn Lith, der ihn vom Mast $F_1$ "uber $G$ und $H$ nach $F_2$ f"uhrte.
            \item Begr"unde: W"are Herr Lith auf seinem Komtrollweg vom Masten $F_1$ "uber $G^*$
	          nach $H^*$ zum Masten $F_2$ gegangen, dann w"are das der k"urzeste Kontrollweg
		  gewesen.
      \end{itemize}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item\mbox{}
                  \begin{center}
                  \includegraphics{07eh011_l1.1}
                  \end{center}
		  
\item  {\bf In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Innenwinkel das Ma"s $60^\circ$.}\\
       Wenn du den Punkt $B$ am Punkt $G$ spiegelst, dadurch erh"altst du den Punkt $B'$. Weil
       jede Achsen- oder Punktspiegelung winkeltreu ist, muss das Dreieck $F_1BB'$ gleichseitig
       sein, denn alle Innenwinkel haben das Ma"s $60^\circ$.\\
       Dann ist das Dreieck $F_1BG$ ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt:\\
       $\overline{BG}=0,5\cdot 36\,\mathrm{m}=18\,\mathrm{m}$.\\
       $\Rightarrow\quad\overline{GC}=60\,\mathrm{m}-18\,\mathrm{m}=42\,\mathrm{m}$.\\
       Das Dreieck $HGC$ ist wieder ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt:\\
       $\overline{HC}=0,5\cdot 42\,\mathrm{m}=21\,\mathrm{m}$.\\
       $\Rightarrow\quad\overline{AH}=60\,\mathrm{m}-21\,\mathrm{m}=39\,\mathrm{m}$.\\
       Weil das Dreieck $AF_2H$ wiederum ein halbes gleichseitiges Dreieck ist, folgt:\\
       $\overline{AF_2}=0,5\cdot 39\,\mathrm{m}=19,5\,\mathrm{m}$.\\
       $\Rightarrow\quad\overline{F_1F_2}=60\,\mathrm{m}-36\,\mathrm{m}-19,5\,\mathrm{m}
       =4,5\,\mathrm{m}$.\\
       Die beiden Fahnenmasten sind $4,5\,\mathrm{m}$ voneinander entfernt.
\item 
       \begin{itemize}
       \item Dieser Sachverhalt ergibt sich sofort aus der L"angentreue de Achsenspiegelung.
       \item Wie schon vorher gezeigt sind die L"angen der Strecken $[GF_1]$ und $[GF_1']$ sowie
             $[HF_2]$ und $[HF_2']$ gleich. Hinzu kommt lediglich die mittlere Strecke $[GH]$,
	     die ja den Rest beiden Streckenz"uge ausmacht. Also sind beide Wege gleich lang.
       \item Die k"urzeste Verbindung zwischen $F_1'$ und $F_2'$ liegt ist die gerade Linie
             zwischen diesen beiden Punkten.\\
	     Aus der L"angentreue der Achsenspiegelung folgt nun, dass $\overline{F_1G^*}=
	     \overline{F_1'G^*}$ und $\overline{F_2H^*}=\overline{F_2'H^*}$ sein muss.\\
	     Weil $[G^*H^*]$ in beiden Streckenz"ugen den Rest bildet, ist der Streckenzug
	     $F_1-G^*-H^*-F_2$ genauso lang wie die minimale Strecke $[F_1'F_2']$, also ebenfalls
	     minimal.\\
	     
             \centerline{\bf Anmerkungen}
	     \begin{itemize}
	     \item [$\blacktriangleright$]
	           Obwohl die drei Lote jeweils die k"urzeste Entfernung des betreffenden Punktes
	           zur gegen"uber liegenden Seite des Grundst"ucks darstellen, ergibt die Summe
		   dieser drei Entfernungen nicht den k"urzesten Weg von $F_1$ zu den zwei Seiten
		   $[BC]$ und $[CA]$ nach $F_2$.
	     \item [$\blacktriangleright$]
	           Mit Hilfe der GEONExT-Datei \GF{07eh011.gxt}, kannst du den Kontrollgang von
	           Herrn Lith variieren.
             \end{itemize}             
       \end{itemize}             
       
\end{enumerate}
}

