%
%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{07eh030mn09_a.1}
	\end{center}
	Das K"onigreich~Al'Gebr besteht aus drei gleich gro"sen Provinzen. Das Bild seiner National\-flagge
	ist oben mit~(1):~K"usten\-region, (2):~S"ud\-region und (3):~Nord\-region dargestellt.
	Die Punkte $P$, $Q$ und $M$ sind dabei Seitenmittelpunkte.\\
	Der K"onig von Al'Gebr hat den Eindruck, dass die drei Provinzen im Flaggen\-bild
	nicht gleich gro"s dargestellt sind. Er m"ochte das ge"andert haben.
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Zeichne die Flagge f"ur ~$|\overline{AB}|=6\,cm$~ und ~$|\overline{BC}|=|\overline{GM}|=4\,cm$\,!
			\item 	Begr"unde, dass der K"onig mit seinem Eindruck in diesem Fall Recht h"atte!
			\end{itemize}
	\item 	Er beauftragt seine Rechenmeister und Designer, den Punkt~$G$ bei sonst unver"anderlicher Aufteilung so
			zu legen, dass die drei farbigen Fl"achen im Flaggen\-bild gleich gro"s sind.
			\begin{itemize}
			\item	Es gilt $|\overline{GM}|=x\,cm$. Zeige, dass in Abh"angigkeit von~$x$ der Fl"achen\-inhalt
					der S"udregion mit ~$A_2=(x\;+3)\,cm^2$~ berechnet wird!
			\item 	Berechne $x$ so, dass alle drei Teilfl"achen gleich gro"s sind!\\
					Wie sieht die Flagge dann aus?
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Beschrifte deine Zeichung mit Ma"szahlen:
					\begin{center}
						\includegraphics{07eh030mn09_l2.1}
					\end{center}
			\item	1.\,M"oglichkeit: (durch Rechnung)\\
					Das gr"une und das rote Trapez sind kongruent.\\
					Rote Fl"ache: ~$A_3=0{,}5\cdot(4\,cm\;+3\,cm)\cdot 2\,cm=7\,cm^2$.\\
					Die blaue Fl"ache~(1) l"asst sich in zwei kongruente Trapeze zerlegen:\\
					$A_1=2\cdot0{,}5\cdot(2\,cm\;+3\,cm)\cdot 2\,cm=10\,cm^2>A_3$\\
					Der Eindruck hat den K"onig nicht get"auscht.\\
					~\\
					2.\,M"oglichkeit: (anschaulich)\\
					Die Hilfslinie~$\overline{EF}$ verl"auft durch die Mittel\-punkte~$K$ und $L$
					der Strecken~$\overline{GP}$ und $\overline{GQ}$.\\
					Dann besitzt das F"unfeck~$QBCPG$ den gleichen Fl"achen\-inhalt wie das Rechteck~$FBCE$.
					Ebenso besitzt dann das F"unfeck~$AQGPD$ den gleichen Fl"achen\-inhalt wie das Rechteck~$AFED$.
					Die blaue Fl"ache nimmt also knapp die H"alfte der Flagge ein. Dann kann dies f"ur die rote
					und die gr"une Fl"ache der Flagge nicht auch noch gelten. Der K"onig hat sich nicht get"auscht.
			\end{itemize}
	\item   \begin{itemize}
            \item	\mbox{}\begin{center}
						\includegraphics{07eh030mn09_l3.1}
					\end{center}
			\item 	F"ur die trapezf"ormige S"udregion gilt:\\
					$A_2=0{,}5\cdot(x\,cm\;+3\,cm)\cdot 2\,cm=(x\;+3)\,cm^2=A_3$.\\
					Mit den zwei kongruenten Trapezen der blauen Fl"ache und ~$A_2=A_1$~ folgt:\\
					$x\;+3=2\cdot0{,}5\cdot\left(3^{\phantom{2}}+(6\;-x)\right)\cdot2~~\iff~~x\;+3=18\;-2\,x~~\iff~~x=5$.\\
					Die Flagge sieht dann so aus:
					\begin{center}
						\includegraphics{07eh030mn09_l4.1}
					\end{center}	  
			\end{itemize}	    
	\end{enumerate}
}
