%
\ANG
{Berechne jeweils die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se. Zuweilen musst du erst
Zwischenwinkel selbst markieren und diese zun"achst berechnen. Die Zeichnungen sind nicht
ma"sstabsgerecht.
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh037_aa.1}
      \end{center}
      \begin{center}
      \includegraphics{07eh037_ab.1}
      \end{center}
}
  
\LSG{
In allen Zeichnungen findest du gleichschenklige Dreiecke, deren Schenkel so
lang wie der jeweilige Kreisradius sind. In jedem gleichschenkligen Dreieck gibt es zwei ma"sgleiche
Winkel.
\begin{center}
      {\bf Figur a)}
\end{center}
Das Dreieck $APM$ ist gleichschenklig: $\Rightarrow \gamma_1 = 60^\circ$. Wegen
der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ folgt $\sphericalangle PAM = 60^\circ$; d.h. das Dreieck $APM$
ist sogar gleichseitig.\\

Der Winkel $CMA$ ist der Nebenwinkel zu dem $60^\circ$-Winkel:\\
$\sphericalangle CMA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Im Dreieck $AMC$ gilt dann:\\
$\varepsilon_1=\varepsilon_2 =(180^\circ-120^\circ):2 =30^\circ$.\\
Das Dreieck $MBC$ ist gleichschenklig: $\Rightarrow \delta_3 = 18^\circ$. Wegen
der Innenwinkelsumme von $180^\circ$ folgt $\sphericalangle BMC = 144^\circ$.\\
Der Winkel $\psi$ ist der Nebenwinkel zu dem $144^\circ$-Winkel: $\psi = 180^\circ -
144^\circ = 36^\circ$.\\
Das Dreieck $PBM$ ist gleichschenklig: $\Rightarrow \gamma_2 = (180^\circ -36^\circ):2=72^\circ$.\\

Im gleichschenkligen Dreieck $ABM$ ist $\sphericalangle AMB = 60^\circ +36^\circ = 96^\circ$.\\
 $\Rightarrow \delta_1 = \delta_2 = (180^\circ-96^\circ):2 =42^\circ$

\begin{center}
      {\bf Figur b)}
\end{center}
Der Winkel $CMA$ ist der Nebenwinkel zu dem $36^\circ$-Winkel:\\
$\sphericalangle CMA = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.
Das Dreieck $AMC$ ist gleichschenklig:\\
$\Rightarrow \varphi_1 = \sphericalangle ACM =
(180^\circ-144^\circ):2 =18^\circ$.\\

Weiter gilt: $\sphericalangle MCB = 48^\circ-18^\circ =30^\circ$. Weil das Dreieck $MBC$
gleichschenklig ist, folgt $\varphi_2=30^\circ$.
$\sphericalangle BMC = 180^\circ - 2\cdot 30^\circ = 120^\circ$.\\
Der Winkel $\psi_1$ ist der Nebenwinkel zu dem $120^\circ$-Winkel:\\
$\psi_1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.\\

Im Dreieck $ABM$ gilt: $\sphericalangle AMB = 36^\circ+60^\circ =96^\circ$ .
Das Dreieck $MBC$ ist gleichschenklig: $\Rightarrow \alpha_1 = \alpha_2 =
(180^\circ-96^\circ):2=42^\circ$.\\

Im Dreieck $PBM$ findest du "uber die Innenwinkelsumme:\\
$\psi_2=180^\circ-(60^\circ +42^\circ)=78^\circ$.

}
