%
\ANG
{
	Zur Berechnung der mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkel\-ma"se musst du zuweilen erst
	Zwischen\-winkel selbst markieren und diese zun"achst be\-rechnen. Die Zeichnungen sind nicht ma"sstabsgerecht.
	\begin{enumerate}
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{07eh039mn_aa.1}
			\end{center}
			In der Figur~a) gilt: $|\overline{AP}|=5\,cm$~~und~~$\alpha\;+\delta=90^\circ$.
			\begin{itemize}
			\item 	Berechne die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se\,!
            \item	Begr"unde: $|\overline{AB}|=10\,cm$~~und~~$|\overline{BC}|=5\,cm$\,!
			\end{itemize}    
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{07eh039mn_ab.1}
			\end{center}
			In der Figur~b) gilt: $|\overline{PQ}|=9{,}38\,cm$.
			\begin{itemize}
			\item	Berechne die mit griechischen Buchstaben gekennzeichneten Winkelma"se\,!
            \item	Begr"unde: $|\overline{RT}|=4{,}69\,cm$\,!
			\end{itemize}    
	\end{enumerate}     
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
            \item	Der Winkel~$CPA$ ist der Nebenwinkel des $60^\circ$-Winkels:\\
					$\sphericalangle CPA=180^\circ\;-60^\circ=120^\circ\quad\Rightarrow\quad\alpha=(180^\circ\;-120^\circ):2=30^\circ$.\\
					Wegen $\alpha\;+\delta=90^\circ$ folgt: $\delta=60^\circ$.\\
					Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck~$PBC$ ergibt sich $\beta=60^\circ$.
            \item 	Das Dreieck~$APC$ enth"alt zwei ma"sgleiche Innenwinkel,\\
					also ist es {\bf gleichschenklig}$\quad\Rightarrow\quad|\overline{AP}|=|\overline{PC}|=5\,cm$.\\
					Das Dreieck~$PBC$ enth"alt drei ma"sgleiche Innenwinkel, also ist es {\bf gleichseitig}.\\
					Damit gilt: $|\overline{AP}|=5\,cm=|\overline{PC}|=|\overline{CB}|=|\overline{PB}|~\Rightarrow~|\overline{AB}|=10\,cm$.
			\end{itemize}    
	\item	In der Figur~b) gilt: $|\overline{PQ}|=9{,}38\,cm$.
			\begin{itemize}
            \item	Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck~$TQR$ ergibt sich:\\
					$\sphericalangle QTR=180^\circ\;-2\cdot15^\circ=150^\circ$.\\
					Der Winkel~$RTP$ ist der Nebenwinkel des $150^\circ$-Winkels:\\
					$\sphericalangle RTP=180^\circ\;-150^\circ=30^\circ$.\\
					Im Dreieck~$PTR$ folgt $\psi=(180^\circ\;-30^\circ):2=75^\circ$.\\
					{\bf Anmerkung:} Wegen $\psi\;+15^\circ=90^\circ$ ist das Dreieck~$PQR$ rechtwinklig.
            \item	Das Dreieck~$TQR$ ist gleichschenklig, weil es zwei ma"sgleiche\\
					Innenwinkel besitzt:~$\Rightarrow\quad|\overline{TQ}|=|\overline{TR}|$.\\
					Das Dreieck~$PTR$ ist ebenfalls gleichschenklig, weil es zwei ma"sgleiche\\
					Innenwinkel besitzt:~$\Rightarrow\quad|\overline{TP}|=|\overline{TR}|$.
					Also gilt: $|\overline{TQ}|=|\overline{TR}|=|\overline{TP}|$.\\
					Somit ist der Punkt~$T$ der	Mittelpunkt der Seite~$\overline{PQ}$ und es gilt:\\
					$|\overline{PT}|=0{,}5\cdot|\overline{PQ}|=4{,}69\,cm$.\\
					{\bf Anmerkung}:~Wegen $|\overline{TQ}|=|\overline{TR}|=|\overline{TP}|$ liegen die	Punkte~$P$, $Q$\\
					und $R$ auf einer Kreislinie mit dem Mittelpunkt~$T$.
			\end{itemize}    
	\end{enumerate}     
}
