%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{07eh051mn.1}
    \end{center}
	Die Punkte~$P$ und $Q$ sind die Mittelpunkte der beiden Kreisb"ogen.
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur f"ur $|\overline{AP}|=4\,cm$\,!
	\item	Berechne $\varphi$\,!
	\item	Begr"unde, dass das Dreieck~$APB$ nicht gleichschenklig ist!
	\item	Wie gro"s m"usste der Winkel~$QPA$ werden, damit das Dreieck~$APB$\\
			bei sonst unver"anderlichen Bedingungen gleichschenklig wird?
	\item	K"onnte das Dreieck~$APB$ bei geeigneter Wahl des Winkels~$QPA$\\
			vielleicht sogar gleichseitig werden?
	\end{enumerate}
}
  
\LSG{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{07eh051mn_l1.1}
			\end{center}
	\item	Die beiden Dreiecke~$APQ$ und $QPB$ sind gleichschenklig:~$|\overline{AP}|=|\overline{PQ}|=|\overline{QB}|$.\\
			Also gilt:~$\alpha_1=\alpha_2=(180^\circ\;-40^\circ):2=70^\circ$.\\
			Der Winkel mit dem Ma"s~$\delta$ ist der Nebenwinkel von $\alpha_2$:\\
			$\delta=180^\circ\;-\alpha_2=180^\circ\;-70^\circ=110^\circ$.\\
			Im Dreieck~$QPB$ gilt:~$\varphi=\psi\quad\Rightarrow\quad\varphi=\psi=(180^\circ\;-110^\circ):2=35^\circ$.
	\item	Es m"usste $\alpha_1=40^\circ\;+\psi$ gelten, aber:~$40^\circ\;+35^\circ=75^\circ\neq 70^\circ\quad (\dag)$.
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{07eh051mn_l2.1}
			\end{center}
			Es muss gelten:~$\beta=180^\circ\;-2\,\alpha$, $\quad\delta=180^\circ\;-\alpha$~~und\\
			\phantom{Es muss gelten:~}$\varphi=(180^\circ\;-\delta):2=[180^\circ\;-(180^\circ\;-\alpha)]:2=\tfrac{1}{2}\,\alpha$.\\
			Soll das Dreieck~$APB$ gleichschenklig werden, dann muss $\alpha=\beta\;+\varphi$ sein:\\
			$\alpha=180^\circ\;-2\,\alpha\;+\tfrac{1}{2}\,\alpha\quad\iff\quad2{,}5\,\alpha=180^\circ\quad\iff\quad\alpha=72^\circ$.
	\item	In der L"osung der Aufgabe~(d) wurde gezeigt, dass es nur ein einziges gleich\-schenkliges Dreieck~$APB$
			gibt. Dessen Basiswinkel hat aber das Ma"s~$72^\circ$. Im Falle des gleich\-seitigen Dreiecks m"usste
			der Basiswinkel (wie alle Inneninkel dort) $60^\circ$ betragen. Also ist ein gleich\-seitiges Dreeick
			auf diese Weise nicht zu konstruieren.
	\end{enumerate}
}
