%
\ANG
{
	Egon bildet die Spiegelzahlen von zweiziffrigen Zahlen, indem er deren Ziffern jeweils vertauscht.
	Dann bildet er vom jeweilgen Zahlenpaar die Summe, z.\,B. so:\\
	$13\;+34=44$~~oder~~$81\;+18=99$~~oder~~$25\;+52=77$.\\
	\GF{{\sl Komisch, der Summenwert besteht stets aus zwei gleichen Ziffern. Ist das immer so?}}, fragt er seinen Vater.
	Der antwortet: \GF{{\sl Nein, finde selbst ein Gegen\-beispiel.}}\\
	Egon rechnet und entdeckt sogar mehrere Gegenbeispiele.
	\begin{enumerate}
	\item	Finde zwei Beispiele daf"ur, dass der Summenwert
			nicht aus lauter gleichen Ziffern bestehen muss!
	\item	\begin{itemize}
			\item	Egon betrachtet die Summenwerte seiner Beispiele in der Aufgabe~(a) genauer
					und entdeckt einen Zusammenhang zwischen den Ziffern. Welcher ist das?
			\item	Jede zweiziffrige Zahl l"asst sich als Term in der Form~~$10\,a\;+b$~~darstellen,\\
					wobei~~$a\,\in\,\{1;\;2;\;\ldots\;9\}$~~und~~$b\,\in\,\{0;\;1;\;2;\;\ldots\;9\}$ gilt.
					\begin{itemize}
					\item	Zeige mit Hilfe des obigen Terms, dass jeder Summenwert aus einer zwei\-ziffrigen Zahl
							und ihrer Spiegelzahl stets durch $11$ teilbar ist!
					\item	Wenn du die beiden Ziffern der urspr"unglichen zweiziffrigen Zahl auf ge\-eignete Weise kombinierst,
							dann erh"altst du neben der $11$ einen weiteren Teiler des Summenwertes.
					\end{itemize}
			\end{itemize}
	\item	Ermittle alle Paare aus einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl,\\
			deren Summenwert~$143$ betr"agt!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	Z.\,B.:~~$97\;+79=176$~~oder~~$56\;+65=121$~~oder~~$\ldots$
	\item	\begin{itemize}
			\item	Die Summe aus der ersten und der letzen Ziffer des Sumenwertes ergibt jeweils die mittlere Ziffer.
			\item	Mit dem Zahlenpaar~~$10\,a\;+b$~~und~~$10\,b\;+a$~~folgt:
					\begin{itemize}
					\item	$(10\,a\;+b)\;+(10\,b\;+a)=11\,a\;+11\,b=11\cdot(a\;+b)$\,.\\
							Der Summenwert enth"alt also stets die Faktoren~$11$ und $(a\;+b)$.
					\item 	Der zweite Teiler entsteht aus dem Summenwert der beiden Ziffern~$a$ und $b$ der zweistelligen Zahl.
							Begr"undung siehe L"osung oben.
					\end{itemize}
			\end{itemize}
	\item	Es gilt:~~$11\,(a\;+b)=143\quad\iff\quad a\;+b=13$.\\
			Gesucht sind also Ziffernpaare~$(a\mid b)$, so dass $a\;+b=13$ wird.\\
			Das ergibt folgende Zahlenpaare:~~$\{(9\mid 4);\;(8\mid 5);\;(7\mid 6);\;(6\mid 7);\;(5\mid 8);\;(4\mid 9)\}$.
	\end{enumerate}
}
