%
\ANG
{
	Jede zweistellige nat"urliche Zahl l"asst sich durch den Term:~~$10\,a\;+b$~~dar\-stellen,
	wobei~$a$ und $b$ deren Ziffern sind. Beispiel:~~$75=10\cdot7\;+5$, wobei~~$a=7$~~und~~$b=5$~~gilt.\\
	Unter der Quersumme~$q$ einer nat"urlichen Zahl versteht man die Summe aus ihren einzelnen Ziffern.
	In unserem Beispiel ist~~$q=7\;+5=12$.
	\begin{enumerate}
	\item	Subtrahiere von der Zahl~$75$ deren Quersumme!\\
			Notiere die Menge aller Teiler des Differenzwertes!
	\item	Wiederhole die vorigen Schritte mit der Zahl~$59$\,!\\
			Bestimme den gr"o"sten gemeinsamen Teiler beider Teilermengen!
	\item	Wiederhole die Rechenschritte mit einer selbst gew"ahlten zweistelligen Zahl!\\
			Was stellst du fest? Gilt deine Feststellung f"ur alle zweistelligen Zahlen?\\
			Begr"unde deine Antwort!
	\item	Experimentiere mit dreistelligen Zahlen! Begr"unde:\\
			Subtrahiert man von einer dreistelligen Zahl deren Quersumme,\\
			so ist der Differenzwert stets durch~$9$ teilbar!
	\item	Gilt das f"ur jede beliebige nat"urliche Zahl? Begr"unde!
	\end{enumerate}
}
  
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	$75\;-12=63$.~~$T_{63}=\{1;\;3;\;7;\;9;\;21;\;63\}$.
    \item	$59\;-14=45$.~~$T_{45}=\{1;\;3;\;5;\;9;\;15;\;45\}$.~~$ggT\,(45;\;63)=9$
    \item	$\ldots$~~Der Wert der Differenz aus der Zahl und ihrer Quersumme ist wieder durch~$9$ teilbar.\\
			Mit der zweistelligen Zahl:~$10\,a\;+b$ und deren Quersumme:~$q=a\;+b$ ist der\\
            Differenzwert:~$10\,a\;+b\;-(a\;+b)=9\,a$, welcher somit stets durch~$9$ teilbar ist.
	\item	$\ldots$~~Aus der dreistelligen Zahl:~$100\,a\;+10\,b\;+c$ und deren Quersumme:~$q=a\;+b\;+c$ ist der
            Differenzwert:~$100\,a\;+10\,b\;+c\;-(a\;+b\;+c)=99\,a\;+9\,b=9\cdot(11\,a\;+b)$;
			also ist auch dieser Differenzwert stets durch~$9$ teilbar.
	\item	Ja, denn~~$10^n\cdot a\;-a=(10^n\;-1)\,a$~~liefert ausschlie"slich Neuner als Ziffern.
	\end{enumerate}
}
