%
\ANG
{
	Franz soll die Anzahl~$n$ von nat"urlichen Zahlen bestimmen, die zwischen zwei nat"ur\-lichen Zahlen~$x$ und $y$ liegen,
	wobei~~$y>x$~~gilt.\\
	Nach einigen Rechenbeispielen findet er eine Formel:~~$n=y\;-x\;-1$.~~{\bf (*)}
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	Bestimme mit Hilfe von {\bf (*)} alle nat"urlichen Zahlen,\\
					die zwischen $69$ und $83$ liegen!
			\item	Best"atige dein Ergebnis, indem du die in Frage kommenden\\
					nat"urlichen Zahlen aufschreibst!
			\end{itemize}
	\item 	Berechne damit die Anzahl der nat"urlichen Zahlen, die gr"o"ser als $513\,799$\\
			und gleichzeitig kleiner als $803\,102$ sind!
	\item 	Franz "uberpr"uft die Formel~{\bf (*)} jetzt an folgenden Sonderf"allen:
			\begin{itemize}
			\item 	$x$ und $y$ sind unmittelbare Nachbarn.\\
					Gilt die Formel {\bf (*)} auch hierf"ur?
			\item 	$x$ und $y$ sind ganze Zahlen.\\
					Berechne $n$ f"ur~~$x=-11$~und~$y=3$~~sowie f"ur~~$x=-39$~und~$y=-23$\,!\\
					Stimmt die Formel auch in diesen beiden F"allen?
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}

\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\begin{itemize}
			\item	$n=83\;-69\;-1=13$.
			\item 	$\{70;\;71;\;72;\;73;\;74;\;75;\;76;\;77;\;78;\;79;\;80;\;81;\;82\}$.\\
					Die L"osungsmenge enth"alt $13$ Zahlen.
			\end{itemize}
	\item 	$n=803\,102\;-513\,799\;-1=289\,302$.
	\item 	\begin{itemize}
			\item 	F"ur $x$ und $y$ gilt dann $y=x\;+1$.\\
					$n=(x\;+1)\;-x\;-1=0$. In der Tat gibt es keine nat"urlichen Zahlen zwischen zwei Zahlennachbarn.
					Die Formel~{\bf (*)} gilt auch in diesem Fall.
			\item	$n_1=3\;-(-11)\;-1=3\;+11\;-1=13$.\\
					Wenn du alle diese ganzen Zahlen aufschreibst, best"atigt sich die Formel.\\
					$n_2=-23\;-(-39)\;-1=-23\;+39\;-1=15$.\\
					Wenn du auch hier alle in Frage kommenden ganzen Zahlen aufschreibst,
					best"atigt sich die Formel erneut.
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
