
%
\ANG{
Die Klasse 8a der Abel-Schule hat von ihrem Lehrer, Herrn Korfat, die folgende Aufgabe bekommen:\\
\GF{Berechne den Produktwert aus zwei gleichen nat"urlichen Zahlen. Subtrahiere nun vom ersten Faktor eine
nat"urliche Zahl und addiere zum zweiten Faktor die gleiche nat"urliche Zahl. Multipliziere jetzt den Wert der
Differenz mit dem der Summe. Vergleiche diesen Produktwert mit jenem, den du anfangs erhalten hast.}\\
Edwin rechnet: $100\cdot 100=10000$ und $(100-99)\cdot(100+99)=199<10000$\\
Egon rechnet: $7\cdot 7=49$ und $(7-2)\cdot(7+2)=45<49$\\
Martha rechnet: $1000\cdot 1000=1000000$ und $(1000-1000)\cdot(1000+1000)=0<1000000$\\
Helga rechnet: $11\cdot 11=121$ und $(11-21)\cdot(11+21)=-320<121$\\
Sie melden sich und meinen "ubereinstimmend: \GF{Der zweite Produktwert ist immer kleiner als der erste.}\\
Herr Korfat gibt zu bedenken: \GF{Wirklich immer?}\\
Martha muss zugeben: \GF{Nein, weil \ldots}
\begin{enumerate}
\item Wie hat Martha ihre Antwort begr"undet?
\item Es sei $a$ eine solche nat"urliche Zahl und $k$ eine zweite nat"urliche Zahl, die einmal von $a$
      subtrahiert und andererseits zu $a$ addiert wird. L"ose damit die von Herrn Korfat gestellte Aufgabe.
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item \GF{Nein, weil dies nur von ein paar Beispielen gest"utzt wird. Die G"ultigkeit in allen F"allen ist
      nicht sichergestellt.}
\item $(a-k)\cdot (a+k)=a^2-k^2<a^2$. Damit ist klar: Der zweite Produktwert ist {\bf stets} kleiner als der
      erste.
\end{enumerate}
}

