%
\ANG
{Egon bildet die Spiegelzahlen von zweiziffrigen Zahlen, indem er deren Ziffern jeweils vertauscht. Dann errechnet er vom jeweilgen Zahlenpaar die Summe, z.B. so:\\
$13+34=44$ oder $81+18=99$ oder $25+52=77$.\\
\GF{Komisch, der Summenwert besteht stets aus zwei gleichen Ziffern. Ist das immer so?}, fragt er seinen Vater. Der antwortet: \GF{Nein, finde selbst ein Gegenbeispiel.}\\
Egon rechnet und entdeckt sogar mehrere Gegenbeispiele.
\begin{enumerate}
\item Finde zwei Beispiele daf"ur, dass der Summenwert nicht aus lauter gleichen Ziffern bestehen muss.
\item \begin{itemize}
      \item Egon betrachtet die Summenwerte seiner Beispiele in der Aufgabe (a) genauer und entdeckt einen Zusammenhang zwischen den Ziffern. Welcher ist das?
      \item Jede zweiziffrige Zahl l"asst sich als Term in der Form $10a+b$ darstellen, wobei
      $a\,\in\,\{1;\,2;\,\ldots\,9\}$ und $b\,\in\,\{0;\,1;\,2;\,\ldots\,9\}$ gilt.
      \begin{itemize}
            \item Zeige mit Hilfe des obigen Terms, dass jeder Summenwert aus einer zweiziffrigen Zahl und ihrer Spiegelzahl stets durch $11$ teilbar ist.
            \item Wenn du die beiden Ziffern der urspr"unglichen zweiziffrigen Zahl auf geeignete Weise kombiniertst, dann erh"altst du neben der $11$ einen weiteren Teiler des Summenwertes.
      \end{itemize}
      \end{itemize}
\item Ermittle alle Paare aus einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl, deren Summenwert $143$ betr"agt.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Z.B.: $97+79=176$ oder $56+65=121$ oder $\ldots$
\item \begin{itemize}
      \item Die Summe aus der ersten und der letzen Ziffer des Sumenwertes ergibt jeweils die mittlere Ziffer.
      \item \mbox{}
      \begin{itemize}
            \item $(10a+b+10b+a=11a+11b=11\cdot(a+b)$\,.\\
                  Der Summenwert enth"alt also stets den Faktor $11$.
            \item Der zweite Teiler entsteht aus dem Summenwert der beiden Ziffern der zweistelligen Zahl. Begr"undung siehe L"osung oben.
      \end{itemize}
      \end{itemize}
\item Es gilt $11(a+b)=143\quad\Leftrightarrow\quad a+b=13$. Gesucht sind also Ziffernpaare $(a\mid b)$, so dass $a+b=13$ wird. Das ergibt folgende Zahlenpaare:\\
$\{(9\mid 4)\,;(8\mid 5)\,;(7\mid 6)\,(6\mid 7)\,;(5\mid 8)\,;(4\mid 9)$\,.
\end{enumerate}

}
