%
\ANG
{
Jede zweistellige nat"urliche Zahl l"asst sich durch den Term $10a+b$ darstellen, wobei $a$ und $b$ die Ziffern sind.\\
Beispiel: $75=10\cdot7+5$; also gilt $a=7$ und $b=5$.\\
Unter der Quersumme $q$ einer nat"urlichen Zahl versteht man die Summe aus ihren einzelnen Ziffern. In unserem Beispiel ist $q=7+5=12$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
      \item Subrahiere von der Zahl $75$ deren Quersumme.
      \item Notiere die Menge aller Teiler des Differenzwertes.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item Wiederhole die vorigen Schritte mit der Zahl $59$.
      \item Bestimme den ggT aus beiden Teilermengen.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item Wiederhole die Rechenschritte mit einemr selbst gew"ahlten zweistelligen Zahl.
      \item Was stellst du fest?
      \item Gilt deine Feststellung f"ur alle zweistelligen Zahlen? Begr"unde deine Antwort.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item Experimentiere mit dreistelligen Zahlen.
      \item Begr"unde: Subtrahiert man von einer dreistelligen deren Quersumme, so ist der Differnzwert stets durch 9 teilbar.
\end{itemize}
\item Gilt das f"ur jede beliebige nat"urliche Zahl? Begr"unde.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
      \item $75-12=63$.
      \item $T_{63}={1;3; 7; 9; 21; 63}$.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item $59-14=45$.$\T_{45}={1;3; 5; 9; 15; 45}$.
      \item $ggT(45;63) = 9$
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item 
      \item Der Wert der Differenz aus der Zahl und ihrer Quersume ist wieder durch 9 teilbar.
      \item Zweistellige Zahl $10a+b$; $q=a+b$.\\
            Differenzwert: $10a+b-(a+b)=9a$; also ist der Differenzwert stets durch 9 teilbar.
\end{itemize}
\item
\begin{itemize}
      \item 
      \item Dreistellige Zahl: $100a+10b+c$; $q=a+b+c$.\\
            Differenzwert: $100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b=9\cdot(11a+b)$; also ist auch dieser Differenzwert stets durch 9 teilbar.
\end{itemize}
\item Ja, denn $10^n\cdot a-a$ liefert ausschlie"slich Neuner als Ziffern.
\end{enumerate}
}
