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\ANG
{Franz soll die Anzahl $n$ von nat"urlichen Zahlen bestimmen, die zwischen zwei nat"urlichen zahlen $x$ und $y$ mit $y>x$ liegen.\\ Nach einigen Rechenbeispielen findet er eine Formel: $n=y-x-1$\,.\hspace{1cm}{\bf (*)}
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Bestimme mit Hilfe von {\bf (*)} alle nat"urlichen Zahlen, die zwischen $69$ und $83$ liegen.
\item Best"atige dein Ergebnis, indem du die in Frage kommenden nat"urlichen Zahlen aufschreibst.
\end{itemize}
\item Berechne die Anzahl der nat"urlichen Zahlen, die gr"o"ser als $513\,799$ und gleichzeitig kleiner als $803\,102$ sind.
\item Franz "uberpr"uft die Formel {\bf (*)} jetzt an folgenden Sonderf"allen:
\begin{itemize}
\item $x$ und $y$ sind unmittelbare Nachbarn.\\
      Gilt die Formel {\bf (*)} auch hierf"ur?
\item $x$ und $y$ sind ganze Zahlen.\\
      Berechne $n$ f"ur $x=-11$ und $y=3$ sowie f"ur $x=-39$ und $y=-23$.\\
      Stimmt die Formel auch in diesen beiden F"allen?
\end{itemize}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $n=83-69-1=13$\,.
\item $\{70;\,71;\,72;\,73;\,74;\,75;\,76;\,77;\,78;\,79;\,80;\,81;\,82\}$\,.\\
      Die L"osungsmenge enth"alt $13$ Zahlen.
\end{itemize}
\item $n=803\,102-513\,799-1=289\,302$\,.
\item 
\begin{itemize}
\item F"ur $x$ und $y$ gilt dann $y=x+1$.\\
      $n=(x+1)-x-1=0$. In der Tat gibt es keine  nat"urlichen Zahlen zwischen zwei Zahlennachbarn.
      Die Formel {\bf (*)} gilt auch in diesem Fall.
\item $n_1=3-(-11)-1=3+11-1=13$.\\
      Wenn du alle in Frage kommenden nat"urlichen Zahlen aufschreibst, best"atigt sich die Formel.\\
      $n_2=-23-(-39)-1=-23+39-1=15$.\\
      Wenn du auch in diesem Fall alle in Frage kommenden nat"urlichen Zahlen aufschreibst, best"atigt sich die Formel erneut.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
