%
\ANG
{Lisa wei"s, dass eine nat"urliche Zahl $n$ dann durch $9$ teilbar ist, wenn ihre Quersumme $QS$ durch $9$ teilbar ist.\\
Sie stellt sich nun folgende Fragen:
\begin{itemize}
\item[(1)] \GF{Ist der Wert der Summe aus einer durch $9$ teilbaren nat"urlichen Zahl und ihrer Quersumme auch durch $9$            teilbar?}
\item[(2)] \GF{Ist der Wert des Produktes aus einer durch $9$ teilbaren nat"urlichen Zahl und ihrer Quersumme durch $27$            teilbar?}
\item[(3)] \GF{Ist der Wert des Quotienten aus einer durch $9$ teilbaren nat"urlichen Zahl und ihrer Quersumme durch                $9$ teilbar?}
\end{itemize}
Was meinst du? Begr"unde jeweils deine Ansicht.
}
  
\LSG{
In jedem all gilt: $n=9\cdot x$ und $QS=9\cdot y$\,.\\

Zu Frage (1):\\
$n+QS=9x+9y=9\cdot(x+y)$\,. Die Antwort hei"st \GF{Ja}.\\

Zu Frage (2):\\
$n\cdot QS=9x\cdot9y=81\cdot(xy)=27\cdot3\cdot(x\cdot y)$\,. Die Antwort hei"st wieder \GF{Ja}.\\

Zu Frage (3):\\

$\D\frac{n}{QS}=\D\frac{9x}{9y}=\D\frac{x}{y}$\,. Nun m"usste $y$ ein Teiler von $x$ sein. Aber ist das immer so?\\

1. Beispiel:\\
$n=648\quad\Rightarrow\quad QS=18\quad648:18=36$\,. Dieses Beispiel liefert eine Best"atigung.\\

2. Beispiel:\\
$n=927\quad\Rightarrow\quad QS=18\quad917:18=50$ Rest $17$\,. Dieses Beispiel verneint die Frage (3).\\

Also ist der Wert des Quotienten aus einer durch 9 teilbaren nat"urlichen Zahl und ihrer Quersumme nicht immer ganz.

}













