%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{08eh064_a1.1}
      \end{center}
Das Viereck $ABCD$ ist ein Quadrat.\\
An seinen Eckpunkten befinden sich vier kleine Quadrate, deren Seitenl"ange jeweils $x\,\mathrm{m}$ betr"agt.\\
Die vier Dreiecke an den Quadratseiten sind jeweils gleichschenklig-rechtwinkig.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=6\,\mathrm{cm}$ und $x=1$\,.
\item Zeige: F"ur den Fl"acheninhalt $A$ des eingef"arbten Kreuzes gilt in Anh"angigkeit von $x$:
\begin{center}
 $A(x)=(-8x^2+24x)\,\mathrm{cm^2}$\,.
\end{center}
 \item Berechne $A(0)$ und $A(3)$. Deute dein Ergebnis mit Hilfe deiner Zeichnung.
\item 
Unter allen Kreuzen gibt es eines, dessen Fl"acheninhalt maximal ist.
\begin{itemize}
 \item Berechne dieses Maximum sowie die zugeh"orige Belegung von $x$\,.
 \item Zeichne erneut das Quadrat $ABCD$  mit dem einbeschriebenen gr"o"sten Kreuz.
 \item Wie viel Prozent der Fl"ache des Quadrates $ABCD$ nimmt das gr"o"ste Kreuz ein? L"ose das Problem auf zwei verschiedene Arten.
\end{itemize}
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Klar.
\item
\begin{eqnarray*}
A(x) & = & [6^2-4\cdot x^2-4\cdot0,5\cdot(6-2x)\cdot(3-x)]\,\mathrm{cm^2}\\
     & = & [36-4x^2-2\cdot(18-6x-6x+2x^2)]\,\mathrm{cm^2}\\
     & = & [36-4x^2-36+12x+12x-4x^2]\,\mathrm{cm^2}\\
A(x) & = & (-8x^2+24x)\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray*}
\item $A(0)=0\,\mathrm{cm^2}$\,. Das zugeh"orige Kreuz entartet zu den beiden Diagonalen des Quadrates $ABCD$\,.\\
      $A(3)=0\,\mathrm{cm^2}$\,. Es entsteht ein Kreuz das aus den Seitenmittelpunkten des Quadrates $ABCD$ erzeugt worden ist.\\
\item 
\begin{itemize}
 \item \begin{eqnarray*}
A(x) & = & (-8x^2+24x)\,\mathrm{cm^2}\\
     & = & -8\cdot(x^2-3x+1,5^2-2,25)\,\mathrm{cm^2}\\
     & = & -8\cdot[(x-1,5)^2-2,25)\,\mathrm{cm^2}\\
A(x) & = & [(-8(x-1,5)^2+18]\,\mathrm{cm^2}
\end{eqnarray*}
$x=1,5$ liefert $A_{\,\text{max}}=18\,\mathrm{cm^2}$\,.
 \item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{08eh064_l2.1}
      \end{center}
Zeichne das Quadrat $ABCD$ erneut mit dem gr"o"sten Kreuz.
 \item 1. M"oglichkeit: mit Hilfe der L"osung oben\\

$\D\frac{A_{\,\text{Kreuz}}}{A_{\,\text{ABCD}}}=\D\frac{18\,\mathrm{cm^2}}{36\,\mathrm{cm^2}}=0,5=50\%$\,.\\

2. M"oglichkeit: Die gestrichelten Hilfslinien zerlegen das Quadrat $ABCD$ in $16$ kongruente kleine Quadrate.\\
Im Zentrum des Kreuzes befinden sich 4 gleich gro"se Quadrate. Der Rest des Kreuzes setzt sich aus 8 kongruenten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken zusammen, wobei jedes halb so gro"s wie ein Quadrat im Zenrtrum ist. Diese 8 Dreiecke ergeben wiederum 4 Quadrate. Also nimmt das Kreuz insgesamt den gleichen Fl"acheninhalt ein, wie die 8 Quadrate.\\
Das sind aber zusammen $50\%$ der Fl"ache des Quadrates $ABCD$\,.
\end{itemize}
\end{enumerate}

}
