%
\ANG
{
F"ur alle Ungleichungen gilt: $\GG=\QQ$.
\begin{enumerate}
\item Berechne die L"osungsmenge von $2x-4>0$.
\item Ber"unde ohne nach $x$ aufzul"osen: Die Ungleichung $6x-12>0$ hat die gleiche L"osungsmenge wie die Ungleichung in der Aufgabe (a).
\item Bestimme die L"osungsmenge von $1387\cdot(2x-4)>0$.
\item Bestimme die L"osungsmenge von $(x^2+1)\cdot(2x-4)>0$.
\item Bestimme die L"osungsmenge von $(x-11)^2\cdot(2x-4)>0$.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\LL=\{x\mid x>2\}_{\QQ}$.
\item Wenn du die Ungleichung in Aufgabe (a) auf beiden Seiten mit 3 multiplizerst, dann erh"altst du die Ungleichung (b). Die L"osungsmenge "andert sich dabei nicht. 
\item Wenn du Ungleichung (a) auf beiden Seiten mit $1387$  multiplizerst, dann erh"altst du die Ungleichung (c). Die L"osungsmenge "andert sich dabei nicht.
\item Weil $x^2+1$ stets positiv ist, muss $2x-4$ auch positiv (also $>0$) bleiben. An der L"osungsmenge "andert sich nichts.
\item Weil $x^2+1$ f"ur alle $x\in\QQ$ positiv ist, folgt aus den gleichen Gr"unden wie oben 
$\LL=\{x\mid x>2\}_{\QQ}$.
\item Auf den ersten Blick sieht es so aus, als ob die L"osungsmenge zu den vorigen unver"andert bleibt. Doch du musst hier vorsichtiger sein: Der Faktor $(x-11)^2$ ist nicht f"ur alle Belegungen von $x$ positiv, denn $x=11$ ist eine Nullstelle dieses Terms; d.h. f"ur $x=11$ ergibt sich $(11-11)^2\cdot(2\cdot 11-4)=0$ und nicht $>0$\,.Das bedeutet: $x=11$ geh"ort nicht zur L"osungsmenge.\\
Damit gilt hier $\LL=\{x\mid x>2\}_{\QQ}\setminus\{11\}$.
\end{enumerate}
}
