%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{08eh027_a.1}
      \end{center}
Das gleichseitige Dreieck $ABC$ liegt im Rechteck $EBFD$.
\begin{enumerate}
\item Zeichne die Figur f"ur $\overline{AB}=4\,\mathrm{cm}$.
\item Begr"unde: Die Dreiecke $ABS$, $SBC$ und $BFC$ sind kongruent.
\item Welchen Anteil der Fl"ache des Rechtecks $EBFD$ nimmt das Dreieck $ABC$ ein? Begr"unde.
\end{enumerate}
}
  
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{08eh027_l1.1}
      \end{center}
      \begin{itemize}
      \item Beginne mit dem Dreieck $ABC$ und dem Mittelpunkt $S$ der Seite $[AC]$.
      \item Zeichne die Halbgerade $[BS$ ein.
      \item Die Parallele zu $[AB]$ durch den Punkt $C$ schneidet diese Parallele im Punkt $D$.\\
            Der Rest ist klar.
      \end{itemize}
\item $\Delta ABS\cong\Delta SBC$, weil $BS$ eine Symmetrieachse ist.\\
      Die beiden rechtwinkligen Dreicke $SBC$ und $BFC$ besitzen die Seite $[BS]$ als gemeinsame
      Hypotenuse. Au"serdem gilt $\delta = 90^\circ -60^\circ=30^\circ =
      \sphericalangle CBS$.\\
      Also sind alle drei fraglichen Dreiecke kongruent.
\item Es gilt: $\Delta DSC\cong\Delta ABS$.\\
      Begr"undung: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke besitzen je einen
      $30^\circ$- und einen $60^\circ$- Winkel (Z-Winkel). Neben den drei Innenwinkeln
      stimmen diese beiden Dreiecke noch in den Kathetenl"angen $\overline{AS}$ und 
      $\overline{SC}$  "uberein.\\
      Also: $\Delta DSC\cong\Delta ABS$.\\
      Das Dreieck $ABC$ ist in zwei kongruente Teildreiecke zerlegt.\\
      Das rechtwinklige Dreieck $DBF$ besteht aus drei kongruenten Teildreiecken. Alle f"unf
      Teildreiecke sind kongruent.\\
      Weil $\Delta DBF\cong\Delta EBD$ gilt, ist das Rechteck $EBFD$ ist damit in sechs
      dieser kongruenten Teildreieck zerlegbar.\\
      
      Damit gilt: $\D\frac{A_{\Delta ABC}}{A_{EBFD}}=\D\frac{2}{6}=
      \D\frac{1}{3}$\\
      
      {\bf Oder:}\\
      Die Hilfsline $[DA]$ veranschaulicht diesen Sachverhalt ohne weiteres:
      \begin{center}
      \includegraphics{08eh027_l2.1}
      \end{center}

\end{enumerate}
}

