%
\ANG
{\mbox{}
	\begin{center}
		\includegraphics{08eh011mn07_a1.1}
    \end{center}
	Herr Theo Lith ist als Platzwart f"ur ein Spielfeld~$ABC$ verantwortlich, das die Form eines
	gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenl"ange $60\,m$ hat. Der Fahnenmast~$F_1$ ist $36\,m$ vom Eckpunkt~$B$ entfernt.\\
	Wie in der Skizze dargestellt, l"auft er w"ahrend eines Kontrollgangs zu den seitlichen Begrenzungen dieses Spielfeldes
	von $F_1$ nach $G$, dann nach $H$ und schlie"slich gelangt er zum Fahnenmast~$F_2$.
	\begin{enumerate}
	\item	Zeichne die Figur mit dem Weg von Herrn Lith! Dabei sollen zehn Meter einem Zentimeter in deinem Heft entsprechen.
	\item	Berechne den Abstand der beiden Fahnenmasten!
	\item 	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{08eh011mn07_a2.1}
			\end{center}
			Es wurden die Punkte~$F_1$ an $\overline{BC}$ und $F_2$ an $\overline{AC}$ gespiegelt. Dadurch entstehen die
			Spiegelbilder~$F_1'$ und $F_2'$.
			\begin{itemize}
            \item	Begr"unde anhand der Zeichnung, dass gilt:\\
					$|\overline{GF_1}|=|\overline{GF_1'}|$ und $|\overline{HF_2'}|=|\overline{HF_2}|$\,!
			\item	Begr"unde:~Der Streckenzug~$F_1'-G-H-F_2'$ ist genauso lang wie der Weg von Herrn Lith,
					der ihn vom Mast~$F_1$ "uber $G$ und $H$ nach $F_2$ f"uhrte!
            \item	Begr"unde: W"are Herr Lith auf seinem Komtrollweg vom Masten~$F_1$ "uber $G^*$ nach $H^*$ zum Masten $F_2$ gegangen,
					dann w"are das der k"urzeste Kontrollweg gewesen!
			\end{itemize}
	\end{enumerate}
}
%
\LSG
{
	\begin{enumerate}
	\item	\mbox{}\begin{center}
				\includegraphics{08eh011mn07_l1.1}
            \end{center}
	\item	{\bf In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Innenwinkel das Ma"s~$60^\circ$.}\\
			Wenn du den Punkt~$B$ am Punkt~$G$ spiegelst, erh"altst du den Punkt~$B'$.
			Weil jede Achsen- oder Punktspiegelung winkeltreu ist, muss das Dreieck~$F_1BB'$ gleichseitig sein,
			denn alle Innenwinkel haben das Ma"s~$60^\circ$.\\
			Dann ist das Dreieck~$F_1BG$ ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt:\\
			$|\overline{BG}|=0{,}5\cdot36\,m=18\,m\quad\Rightarrow\quad|\overline{GC}|=60\,m\;-18\,m=42\,m$.\\
			Das Dreieck~$HGC$ ist wieder ein halbes gleichseitiges Dreieck und es gilt:\\
			$|\overline{HC}|=0{,}5\cdot42\,m=21\,m\quad\Rightarrow\quad|\overline{AH}|=60\,m\;-21\,m=39\,m$.\\
			Weil das Dreieck~$AF_2H$ wiederum ein halbes gleichseitiges Dreieck ist, folgt:\\
			$|\overline{AF_2}|=0{,}5\cdot39\,m=19{,}5\,\quad\Rightarrow\quad|\overline{F_1F_2}|=60\,m\;-36\,m\;-19{,}5\,m=4{,}5\,m$.\\
			Die beiden Fahnenmasten sind $4{,}5\,m$ voneinander entfernt.
	\item	\begin{itemize}
			\item	Dieser Sachverhalt ergibt sich sofort aus der L"angentreue de Achsenspiegelung.
			\item	Wie schon vorher gezeigt sind die L"angen der Strecken~$\overline{GF_1}$ und $\overline{GF_1'}$ sowie
					$\overline{HF_2}$ und $\overline{HF_2'}$ gleich. Hinzu kommt lediglich die L"ange der mittleren Strecke~$\overline{GH}$,
					die ja den Rest beiden Streckenz"uge ausmacht. Also sind beide Wege gleich lang.
			\item	Die k"urzeste Verbindung zwischen $F_1'$ und $F_2'$ stellt die Strecke zwischen diesen beiden Punkten dar.
					Aus der L"angentreue der Achsenspiegelung folgt, dass $|\overline{F_1G^*}|=|\overline{F_1'G^*}|$ und
					$|\overline{F_2H^*}|=|\overline{F_2'H^*}|$ sein muss.
					Weil $\overline{G^*H^*}$ in beiden Streckenz"ugen den Rest bildet, ist der Streckenzug~$F_1-G^*-H^*-F_2$
					genauso lang wie die minimale Strecke~$\overline{F_1'F_2'}$, also ebenfalls minimal.\\
	     			{\bf Anmerkung}:\\
					Obwohl die drei Lote jeweils die k"urzeste Entfernung des betreffenden Punktes zur gegen"uberliegenden Seite
					des Grundst"ucks darstellen, ergibt die Summe dieser drei Entfernungen nicht den k"urzesten Kontrollweg von $F_1$
					"uber die Seiten~$\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ nach $F_2$.
			\end{itemize}                
	\end{enumerate}
}
